整除.docx
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整除
整除的特征
整除的定义:
整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零.我们就说a能被b整除(或说b能整除a),记作b|a,读作“b整除a”或“a能被b整除”.
整除与除尽:
它与除尽既有区别又有联系.除尽是指数a除以数b(b≠0)所得的商是整数或有限小数而余数是零时,我们就说a能被b除尽(或说b能除尽a).因此整除与除尽的区别是,整除只有当被除数、除数以及商都是整数,而余数是零.除尽并不局限于整数范围内,被除数、除数以及商可以是整数,也可以是有限小数,只要余数是零就可以了.它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况.
整除性质:
(1)如果a与b都能被c整除,那么a+b与a-b也能被c整除.
(2)如果a能被b整除,c是任意整数,那么积ac也能被b整除.
(3)如果a同时被b与c整除,并且b与c互质,那么a一定能被积bc整除.反过来也成立.
讨论能被2,5,3,9,4,25,8,125.11,7.13等数整除的数的特征.
1.能被2或5整除的数的特征是:
如果这个数的个位数能被2或5整除,那么这个数就能被2或5整除.也就是说:
一个数的个位数字是0、2、4、6、8时,这个数一定能被2整除.
一个数的个位数字是0、5时,这个数一定能被5整除.
例如要判断18762,9685,8760这三个数能否被2或5整除,根据这三个数的个位数字的特点,很快可以判断出,2|18762,2不能整除9685,2|8760;5不能整除18762,5|9685,5|8760.
2.能被3或9整除的数的特征是:
如果这个数的各个数位上的数字和能被3或9整除,这个数就能被3或9整除.
例如要判断47322能否被9整除,由于
47322=40000+7000+300+20+2
=4×(9999+1)+7×(999+1)+3×(99+1)+2×(9+1)+2
=4×9999+7×999+3×99+2×9+4+7+3+2+2
=9×(4×1111+7×111+3×11+2×1)+(4+7+3+2+2)
9一定能整除9×(4×1111+7×111+2×11+2×1),所以要判断9能否整除47322,只要看9能否整除4+7+3+2+2=18,因为9|18,所以9|47322.可以看到4+7+3+2+2恰好是这个数的各个数位上的数字和.类似的方法我们还可以判断出3|47322.
3.能被4或25整除的数的特征是:
如果这个数的末两位数能被4或25整除,这个数就能被4或25整除.
例如要判断63950能否被4或25整除,由于
63950=639×100+50,100=4×25,所以100能被4或25整除,根据整除的性质,639×100能被4或25整除,要判断63950能否被4或25整除,只要看50能否被4或25整除,因为4不能整除50,25|50,所以4不能整除63950,25|63950.可以看出50恰好是63950的末两位数.
4.能被8或125整除的数的数的特征是:
如果这个数的末三位数能被8或125整除,这个数就能被8或125整除.
例如要判断4986576能否被8整除,由于4986576=4986×1000+576,1000=8×125,所以8|1000,根据整除的性质,8|4986000,要判断8能否整除4986576,只要看8能否整除576,因为8|576,所以8|4986576.可以看出576恰好是4986576的末三位数.
同理可以判断这个数不能被125整除.
5.能被11整除的数的特征是:
如果这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差(大减小)能被11整除,这个数就能被11整除.
奇数位是指从个位起的第1、3、5…位,其余数位是偶数位.
例如要判断64251能否被11整除,由于
64251=6×104+4×103+2×102+5×10+1
=6×(9999+1)+4×(1000+1-1)+2×(99+1)+5×(10+1-1)+1
=6×(11×909+1)+4×(11×91-1)+2×(11×9+1)+5×(11-1)+1
=[11×(6×909+4×91+2×9+5)]+[(6+2+1)-(4+5)]
上式第一个中括号内的数能被11整除,要判断64251能否被11整除,只要(6+2+1)-(4+5)=0能被11整除,因为11|0,所以11|64251,而(6+2+1)-(4+5)恰好是64251的奇数位上的三个数减去偶数位上的两个数字.
6.能被7、11、13整除的数的特征是:
如果这个数的末三位数所组成的数与末三位以前的数所组成的数的差(大减小)能被7、11、13整除,这个数就能被7、11、13整除.
例如要判断1096823能否被7、11、13整除,由于7×11×13=1001,所以7|1001,11|1001,13|1001
1096823=1096×1000+823
=1096×(1001-1)+823
=1096×1001-(1096-823)
因为1096×1001能被7、11、13整除,要判断1096823能否被7、11、13整除,只要判断1096-823=273能否被7、11、13整除,由于7|273,13|273,11不能整除273,所以7|1096823,13|1096823,11不能整除1096823,而1096-823恰好是1096823的末三位以前的数所组成的四位数减去1096823的末三位数所组成的数.
能被2、3、5整除的数典型题型解答
例1.在方框里填上适当的数使它能同时被2、3整除.415□
分析:
这个数要能被2整除,则个位上可以填0、2、4、6、8,但是同时又要能被3整除,因此四个数位上的数字的和能被3整除,而4+1+5=10,所以个位数字只能是2或8,即方框里可以填2或8.
解:
4152或者4158.
例2.如果12345□□能被234整除,问□□应为哪两个数字?
分析:
我们考察1234500÷234=5275……150,1234599÷234=5276……15.可见12345□□÷234=5276,因为234×5276=1234584,于是□□的两个数字应为8、4.
解:
由1234500÷234=5275……150,1234599÷234=5276……15,
可知12345□□÷234=5276.
因为234×5276=1234584.
所以□□的两个数字应为8、4.
答:
□□内的两个数字应为8、4.
例3.在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字每两个数字的中间分别添上加号或减号,能不能使最后的结果等于10?
如果能,请添上;如果不能请说明理由.
分析:
应从和的奇偶性去分析.
解:
不能.因为1-9九个数字的和为45,45是奇数,如果将某数前面的符号由加号改为减号,最后的结果将减少这个数的2倍(如:
17+8=25,把加号变成减号,17-8=9,9比25少16,相当于少了两个8),即减少一个偶数,45减去一个偶数,仍然为奇数,而10是偶数,所以不可能.
例4.在方框里填上适当的数字,使它能同时被2、3整除.513□
分析:
先考虑能被2整除的数,个位上可以是0、2、4、6、8,但是又要能被3整除,因此,要检验四个数位上的数字的和能否被3整除,检验的结果,方框内可以填0和6.
解:
5130或5136
例5.从0、7、5、3四个数字中选三个数字组成一个三位数,使组成的数能同时被2、3和5整除.这样的三位数有几个?
分析:
根据能被2、3、5整除的数的特征,确定出所组成的三位数要能同时被2、3、5整除,这个三位数的个位数字必须是0.现在一共有四个数字,这个三位数的十位和百位上的数字只能从7、5、3三个数字选取,且每位上的数字的和要能被3整除.
解:
一共有两个:
570或750.
数的整除典型例题解析
例1.下列算式中,哪些是除尽?
哪些是整除?
42÷7=63÷5=0.64÷0.2=20
5÷3=1……28.1÷3=2.72÷3=0.666666……
分析:
解答这一题,要根据"除尽"和"整除"的意义及条件去判断,还要用到"除尽"和"整除"的的关系.
解:
除尽有:
42÷7=63÷5=0.64÷0.2=208.1÷3=2.7
整除有:
42÷7=6
例2.48的约数有哪几个?
20以内3的倍数有哪几个?
分析:
要求48的全部约数,必须包括1和它本身,这是容易出错的,3的倍数有无限多个,这里要注意题目的限制条件,应该在20以内去找,此时3的倍数的个数是有限的.
解:
48的约数有:
1、2、3、4、6、8、12、16、24、48,共10个
20以内3的倍数有:
3、6、9、12、15、18,共6个.
例3.如果a、b、c是不同的自然数,A=a×b×c,那么A至少有多少个约数?
分析:
A有约数1和A,要使A的约数最少,A还有a、b、c中不为1的另外两个数为约数,所以A最少有4个约数.
解:
A至少有4个约数.
例4.a、b、c都是自然数,如果a×b=c,那么a、b是c的()数,c是a、b的()数.
分析:
根据约数和倍数的概念可以判断.
解:
a、b是c的约数,c是a、b的倍数.
提升题
例1在□内填上适当的数字,使
(1)34□□能同时被2、3、4、5、9整除;
(2)7□36□能被24整除;
(3)□1996□□能同时被8、9、25整除.
分析:
(1)题目要求34□□能同时被2、3、4、5、9整除,因为能被4整除的数一定能被2整除,能被9整除的数一定能被3整除,所以34□□只要能被4、9、5整除,就一定能被2、3、4、5、9整除.先考虑能被5整除的条件.个位是0或5,再考虑能被4整除的条件,由于4不能整除34□5,所以个位必须是0,最后考虑能被9整除的条件,34□0的各个数位上的数字和是9的倍数,3+4+□+0=7+□,这时十位数字只能是2,问题得以解决.
(2)题目要求7□36□能被24整除,24=3×8,而3与8互质,根据整除的性质,考虑被24整除,只要分别考虑被3、8整除就行了.先考虑被8整除的条件,7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除,所以个位数字只能是0或8,当个位数字为0时,由于要求7□360能被3整除,所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除,这样千位数字只能是2或5或8;当个位数字为8时,由于要求7□368能被3整除,所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除,这样千位数字只能是0或3或6或9.
(3)题目要求□1996□□能同时被8、9、25整除,首先考虑能被25整除的条件,□1996□□的末两位数能被25整除,末两位数只能是00,25,50,75.其次考虑能被8整除的条件,□1996□□的末三位数字组成的数能被8整除,但600,625,650,675这四个数中,只有600这个数能被8整除.最后□199600这个数能被9整除,其各个数位上的数字和□+1+9+9+9+6+0=25+□能被9整除,所以第七位数字是2.
解:
(1)因为34□□能同时被2、3、4、5、9整除,因此只要34□□能同时被4、5、9整除.由于34□□能被5整除,所以个位数字只能是0或5,又因为4不能整除34□5,所以个位必须是0,又34□0能被9整除,3+4+□+0=7+□能被9整除,所以十位数字只能是2.
3420能同时被2、3、4、5、9整除.
(2)因为24=3×8,3与8互质,7□36□被8整除的条件是,7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除,所以个位数字只能是0或8;当个位数字是0时,7□360能被3整除,7+□+3+6+0=16+□能被3整除,所以千位数字只能是2或5或8;当个位数字是8时,7□368能被3整除,7+□+3+6+8=24+□能被3整除,所以千位数字只能是0或3或6或9.
所以所求的数为72360,75360,78360,70368,73368,76368,79368.
(3)因为□1996□□能被25整除,□1996□□的末两位数能被25整除,这样末两位数只能是00,25,50,75;又因为□1996□□能被8整除,但□1996□□的末三位数600,625,650,675这四个数中,只有600能被8整除;而□199600又能被9整除,□+1+9+9+6+0+0=25+□能被9整除,所在第七位数字只能是2.
所以2199600能同时被8、9、25整除.
例2把915连续写多少次,所组成的数就能被9整除,并且这个数最小.
分析:
要求这个数能被9整除,而9+1+5=15显然不能被9整除,但3×15能被9整除,因此只要把915连续写3次,所组成的数就能被9整除,并且这个数最小.
解:
因为9+1+5=15,15不能被9整除,而3×15能被9整除,所以只要把915连续写3次,即915915915必能被9整除,且这个数最小.
例3希希买了九支铅笔,两支圆珠笔,三个练习本和五块橡皮.她看到圆珠笔每支3角9分,橡皮每块6分,其余她没注意.售货员要她付3元8角,希希马上说:
“阿姨你算错了.”请问售货员的帐算错了没有?
为什么?
分析:
根据圆珠笔与橡皮的单价,可以算出圆珠笔、橡皮共需39×2+6×5=108(分),而3元8角即380分减去108分等于272分,这272分是买九支铅笔、三个练习本的价格,这9与3正好是3的倍数,也就是说九支铅笔与三个练习本的总价钱应是3的倍数(无论它们各自的单价是多少),而272不是3的倍数,显然是售货员把账算错了.
解:
两支圆珠笔和五块橡皮的总钱数
39×2+6×5=108(分)
3元8角即380分,380-108=272(分)应是九支铅笔与三个练习本付的总价钱,因为九支铅笔与三个练习本的总价钱必是3的倍数,而272不是3的倍数,所以售货员把账给算错了.
例4三个数分别是346,734,983,请再写一个比996大的三位数,使这四个数的平均数是一个整数.
分析:
要使这四个数的平均数是一个整数,说明这四个数的和必是4的倍数.因为346+734+983=2063,被4除余3,比996大的三位数只有997被4除余1,这时2063+997=3060必能被4整除.
解:
因为346+734+983=2063,被4除余3,比996大的三位数只有997被4除余1,且2063+997必能被4整除,所以第四个数为997.
《数的整除》练习题
基础题
一、填空。
1.10以内的合数有(),20以内的素数有()。
2.把36分解质因数是(),把63分解质因数是()。
3.()既不是素数也不是合数。
4.自然数中,最小的素数是(),最小的合数是(),最小的奇数是(),最小的偶数是()。
5.如果A=2×3×3,B=3×3×5,则A、B的最大公约数是(),最小公倍数是()。
6.18的所有约数分别是(),12的所有约数分别是()。
7.三个素数相乘的积是12,这三个素数分别是()、()、()。
8.如果A÷B=C,那么A与B的最大公约数是(),最小公倍数是()。
9.一个奇数如果(),结果一定是偶数。
10.一个三位数6□3能被3整除,□中最小填()。
11、在自然数1~50中,最大的素数是(),两位数中最小的素数是()。
12、有一个数,它是2的倍数,又含有约数3,能被5整除。
这个数可能是()。
13.在5、46、2、15、51、24、47、30、210中
(1)能被2整除的有();
(2)能被3整除的有();
(3)能被5整除的有();
(4)能同时被3、5整除的有();
(5)能同时被2、3、5整除的有()。
14.28的因数有()。
15.把70分解质因数(70=)。
16.1.4÷0.7=2,我们就说1.4能被0.7()。
17.一个数的最小倍数是17,这个数的最大因数是()。
18.一个数除以3、4、6都余2,这个数最小是()。
二、判断
1、A.1、9的最大公约数是1。
()B.1、9的最大公约数是9。
()
2、A.2,6是互质数。
()B.5,6是互质数。
()C.0,6是互质数。
()
3、A.15=1×3×5表示分解质因数。
()B.48=2×2×3×4表示分解质因数。
()
C.60=2×2×3×5表示分解质因数。
()D.72=8×9表示分解质因数。
()
4、两个数的最大公约数,不可能比这两个数都大。
()
5、18和36的公约数只有18。
()
6、两个互质数的最小公倍数是它们的积。
7、正方形的边长是一个素数,那么它的周长也一定是素数。
()
8、所有的素数都是奇数。
()
9、自然数中不是奇数就是偶数。
()
10、三个连续自然数中,一定有一个是3的倍数。
()
11、一个合数的约数就是这个合数的质因数。
()
12、两个素数的积一定是奇数。
()
13、两个奇数的和一定是偶数。
()
14、两个素数一定可以组成互质数。
()
15、2,3,5三个数两两互质,那么这三个数的最小公倍数是2×3×5=30。
()
三、观察后填空
在表格中,首先划去2的倍数,再划去3的倍数,5的倍数,7的倍数。
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1、最后剩下的这些数,共有()个,都是()数。
2、猜一猜,最后剩下的这些数的最大公约数是()。
四、将下列一组数按一定的标准进行分类。
123461217485989
提升题:
1、一个三位数,百位上既不是质数也不是合数,十位上是最大的奇数,这个数又是2和3的倍数,这个三位数是()或( )。
2、0、2、5、8四个数字组成的四位数中,能同时被3和5整除的最大的数是(),最小的数是()。
3、一个能被2和3整除的四位数,它的千位上的数是奇数又是合数,它的百位上的数不是质数也不是合数,它十位上的数是最小的质数,个位上的数是()。
4、判断45728能否被4整除?
5、判断18109能不能被7或11或13整除?
6、判断25102能不能被7或11或13整除?
7、四位数5□1□能同时被2,3,5整除,这样的四位数有哪几个?
8、四位数6□2□能同时被2,3,5整除,这样的四位数有哪几个?
9、46375能不被125整除?
10、判断2684962能不能被7或11或13整除?
11、在□内填上合适的数,使五位数7□36□既能被5整除,也能被9整除。
12、51能被17整除,204能否被17整除?
208能被26整除,26能被13整除,208能否被13整除?
13、判断561能被3整除,561也能被11整除,561能否被33整除?
14、3448×6894的积能否被72整除?
15、1328×3597的积能否被44整除?
16、一个六位数85□56□能被45整除,这个数除以5所得的商是多少?
17、一个五位数7□57□能被72整除,这个数除以8所得的商是多少?
18、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数中选出4个不同的数字,组成一个四位数,使它能同时被2,3,5,7整除。
这个数最大是几?
19、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数中选出4个不同的数字,组成一个四位数,使它能同时被3,7,9整除。
这个数最大是几?
20、已知35能被7整除,245能否被7整除?
为什么?
21、466×2124的积能否被18整除?
22、一个六位数87□56□能被55整除,这个数除以11所得的商是多少?
23、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数中选出5个不同的数字,组成一个五位数,使它能同时被3,5,7,13整除。
这个数最大是几?
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