线线角和线面角.docx
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线线角和线面角
线线角和线面角
[重点]:
确定点、斜线在平面内的射影。
[知识要点]:
一、线线角
1、定义:
设a、b是异面直线,过空间一点O引a′//a,b′//b,则a′、b′所成的锐角(或直角),叫做异面直线a、b所成的角.
2、范围:
(0,
]
3.向量知识:
对异面直线AB和CD
(1)
;
(2)向量
和
的夹角<
>(或者说其补角)等于异面直线AB和CD的夹角;
(3)
二、线面角
1、定义:
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,斜线和平面所成角的范围是(0,
).
2、直线在平面内或直线与平面平行,它们所成角是零角;
直线垂直平面它们所成角为
,
3、范围:
[0,
]。
4、射影定理:
斜线长定理:
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:
(1)射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长;
(2)相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;
(3)垂线段比任何一条斜线段都短。
5、最小角定理:
平面的一条斜线与平面所成的角,是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
6、向量知识
(法向量法)与平面的斜线共线的向量
和这个平面的一个法向量
的夹角<
>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.
[例题分析与解答]
例1.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
异面直线BA1与AC所成的角.
分析:
利用
,求出向量
的夹角
再根据异面直线BA1,AC所成角的范围确定异面直线所成角.
解:
∵
,
,
∴
∵AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC,
∴
∴
又
∴
∴
所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.
点评:
求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积,而要求两向量的数量积,必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.
例2.如图
(1),ABCD是一直角梯形,AD⊥AB,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥平面ABCD,PD与平面ABCD成30°角.
(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:
BE⊥PD;
(2)求异面直线AE与CD所成角的大小(用反三角函数表示)
解法一:
(1)证明:
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AB,
∵AD⊥AB,
∴AB⊥平面PAD,
∴AB⊥PD,又AE⊥PD,
∴PD⊥平面ABE,
∴BE⊥PD.
(2)解:
设G、H分别为ED、AD的中点,连BH、HG、GB(图
(1))
易知
,
∴BH//CD.
∵G、H分别为ED、AD的中点,
∴HG//AE
则∠BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角,
而
,
,
,
在ΔBHG中,由余弦定理,得
,
∴
.
∴异面直线AE、CD所成角的大小为
.
解法二:
如图
(2)所示建立空间直角坐标系A-xyz,
则
,
,
,
,
,
(1)证明:
∵
∴
∴
∴
(2)解:
∵
∴
∴异面直线AE、CD所成角的大小为
例3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
,求BE1与DF1所成角
的余弦值.
解:
以D为坐标原点,
为x,y,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,
设正方体的棱长为4,则
D(0,0,0),B(4,4,0),E1(4,3,4),F1(0,1,4).
则
,
∴
,
∵
.
∴
∴BE1与DF1所成角的余弦值为
点评:
在计算和证明立体几何问题中,若能在原图中建立适当的空间直角坐标系,把图形中的点的坐标求出来,那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解,这样可以避开较为复杂的空间想象。
例4.在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱的距离分别为2和4,且线段|AB|=10.
(1)求直线AB和棱a所成的角;
(2)求直线AB和平面Q所成的角
解:
如图,作AC⊥a,BD⊥a,垂足分别为C,D
分别以
的单位向量为空间的基底
过C,B分别作BD,a的平行线,交于E点,
∴CE⊥a,从而,得:
∠ACE就是二面角P-a-Q的平面角,
∴
依题设:
设
(1)
∵
又∵
∴
展开:
∵
∴m2+20+8=100,从而得
∴
∴异面直线
与a所成的角为
.
(2)
作AF⊥EC,交EC的延长线于F,
∴a⊥平面ACE,aÌ平面Q,
∴平面ACE⊥平面Q,
从而得:
AF⊥平面Q,连结FB,
则∠ABF就是AB与平面Q所成的角,
∵
上的射影为
,
∴
, ∴
,
在RtΔAFB中,
,
∴直线AB和平面Q所成的角为:
.
反馈练习:
1.过平面外两点和该平面垂直的平面的个数是( )
A.1个 B.无数个 C.一个或无数个 D.没有
2.已知从一点P引三条射线PA,PB,PC,且两两成60度角,则二面角A—PB—C的二面角的余弦值是( )
A..
B.
C.
D.不能确定
3.正方体AC1中,E、F分别是AA1与CC1的中点,则直线ED与D1F所成角的大小是()
A、
B、
C、
D、
4.在正三棱锥S-ABC中,E为SA的中点,F为ΔABC的中心,SA=BC=2,则异面直线EF与AB所成的角是()
A、60° B、90° C、45° D、30°
5.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是()
A、
B、
C、
D、
6、如图所示,M、N分别是单位正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1、B1C1的中点.求MN与CD1所成的角.
7、如图1所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1,侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.
(1)求异面直线AB1与BC1的夹角;
(2)在直线CC1上求一点N,使MN^AB1.
参考答案:
1.C.
2.B.
3.A.
如图.:
依题意,可知:
设
由三角形法则,
∴
∴
∴直线ED与D1F的所成的角为
.
4.A.
如图设
依题意可得:
,
∵
∴
∴
也就是:
异面直线EF与AB所成的角是60°.
5.B.
如图取AB中点E,连结CE,
由正三棱柱可知:
CE⊥平面AA1B1B.
连结EB1,∴∠CB1E就是B1C与平面AA1B1B所成的角
设棱长AA1=1,设
,
依题意可得:
,
∵
∴
又∵
∴
,
∴
,
∴直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是
.
6、解:
∵
,
,
且
∴
∵
,
∴
∴
.
∴MN与CD1所成角为60°.
7、分析:
利用向量理论求异面直线所成的角.
解:
(1)求异面直线AB1与BC1所成的角,就是求向量
的夹角,如图2
∵正三棱柱ABC-A1B1C1,
∴
,
依题意
,
从而得:
∴
∴
(2)设
,如图3,
依题意可得:
∵
也就是:
∴
即
∴
,
∴当
时,AB1⊥MN.
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