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最新高中数学公式大全总结优秀名师资料
高中数学公式大全总结
高中数学常用公式及常用结论
1.元素与集合的关系
xAxCUA,xCUAxA.
2.德摩根公式
CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.
3.包含关系
ABAABBABCUBCUA
ACUBCUABR
4.容斥原理
card(AB)cardA,cardB,card(AB)
card(ABC)cardA,cardB,cardC,card(AB)
card(AB),card(BC),card(CA),card(ABC).
nnn5(集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2个;真子集有2–1个;非空子集有2–1
个;非空的真子集有2–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f(x)ax2,bx,c(a0);
(2)顶点式f(x)a(x,h)2,k(a0);
(3)零点式f(x)a(x,x1)(x,x2)(a0).
7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式n
Nf(x)M[f(x),M][f(x),N]0M,NM,Nf(x),N|0|f(x),22M,f(x)
11.f(x),NM,N
只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且
要而不是充分条件.特别地,方程ax,bx,c0(a0)有且只有一个实根在2
(k1,k2)k,k2b1,或f(k2)0且22a
2二次函数f(x)ax,bx,c(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x,b处及区2a
;间的两端点处取得,具体如下:
(1)当a>0时,若x,bbp,q,()nmf(,,x则
fxi2a2axmaxma(f,)p()fq
bp,q,f(x)maxmaxf(p),f(q),f(x)minminf(p),f(q).2a
bp,q,则f(xm
(2)当a<0时,若x,)iminfp()f,,q(若)n2ax,
1
x,
b
p,q,则f(x)maxmaxf(p),f(q),f(x)minminf(p),f(q).2a
10.一元二次方程的实根分布
依据:
若f(m)f(n)0,则方程f(x)0在区间(m,n)设f(x)x2,px,q,则
p2,4q0
(1)方程f(x)0在区间(m,,)内有根的充要条件为f(m)0或p;
m2
f(m)0f(n)0
(2)方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或p2,4q0
m,pn2
f(m)0f(n)0或或;af(n)0af(m)0
p2,4q0
(3)方程f(x)0在区间(,,n)内有根的充要条件为f(m)0或p.
m2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间(,,,)的子区间L(形如,,,,,,,,,不同)上含参数的二
次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).
(2)在给定区间(,,,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条
件是f(x,t)man0(xL).
a0
a042
(3)f(x)ax,bx,c0恒成立的充要条件是b0或2.
c0b,4ac0
12.
13.
2
14.四种命题的相互关系
15.充要条件
(1)充分条件:
若pq,则p是q充分条件.
(2)必要条件:
若qp,则p是q必要条件.
(3)充要条件:
若pq,且qp,则p是q充要条件.
注:
如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设x1x2a,b,x1x2那么
f(x1),f(x2)0f(x)在a,b上是增函数;x1,x2
f(x1),f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.(x1,x2)f(x1),f(x2)0x1,x2
(2)设函数yf(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,则f(x)为增函数;如果f(x)0,则f(x)为减函数.
17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x),g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.(x1,x2)f(x1),f(x2)0
18(奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数(
19.若函数yf(x)是偶函数,则f(x,a)f(,x,a);若函数yf(x,a)是偶函数,则f(x,a)f(,x,a).
20.对于函数yf(x)(xR),f(x,a)f(b,x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xa,ba,b;两个函数yf(x,a)与yf(b,x)的图象关于直线x对称.22
a21.若f(x),f(,x,a),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若2
fa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.
22(多项式函数P(x)anxn,an,1xn,1,,a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数yf(x)的图象的对称性
(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(a,x)f(a,x)
f(2a,x)f(x).
3
(2)函数yf(x)的图象关于直线xa,b对称f(a,mx)f(b,mx)2
f(a,b,mx)f(mx).
24.两个函数图象的对称性
(1)函数yf(x)与函数yf(,x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.
(2)函数yf(mx,a)与函数yf(b,mx)的图象关于直线xa,b对称.2m
(3)函数yf(x)和yf,1(x)的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位,得到函数yf(x,a),b的图象;若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位,得到曲线f(x,a,y,b)0的图象.
26(互为反函数的两个函数的关系
f(a)bf,1(b)a.
27.若函数yf(kx,b)存在反函数,则其反函数为y1,1[f(x),b],并不是k
y[f,1(kx,b),而函数y[f,1(kx,b)是y1[f(x),b]的反函数.k
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数f(x)cx,f(x,y)f(x),f(y),f
(1)c.
(2)指数函数f(x)ax,f(x,y)f(x)f(y),f
(1)a0.
(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x),f(y),f(a)1(a0,a1).
(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f?
(1).
(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx,f(x,y)f(x)f(y),g(x)g(y),
f(0)1,limx0g(x)1.x
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
(1)f(x)f(x,a),则f(x)的周期T=a;
(2)f(x)f(x,a)0,1(f(x)0),f(x)
1或f(x,a),(f(x)0),
f(x)
1或,f(x,a),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a;2
1(f(x)0),则f(x)的周期T=3a;(3)f(x)1,f(x,a)
f(x1),f(x2)(4)f(x1,x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1,x2|2a),则1,f(x1)f(x2)
f(x)的周期T=4a;
(5)f(x),f(x,a),f(x,2a)f(x,3a),f(x,4a)
f(x)f(x,a)f(x,2a)f(x,3a)f(x,4a),则f(x)的周期T=5a;
(6)f(x,a)f(x),f(x,a),则f(x)的周期T=6a.或f(x,a)
30.分数指数幂
4
m
n
(1)a
(2)a,m
n1
m
n(a0,m,nN,,且n1).(a0,m,nN,,且n1).a
31(根式的性质
(1
)na.
(2)当n
a;
当n
|a|
32(有理指数幂的运算性质
(1)arasar,s(a0,r,sQ).
(2)(ar)sars(a0,r,sQ).
(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).
p注:
若a,0,p是一个无理数,则a表示一个确定的实数(上述有理指数幂的运算性
质,对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
a,a0.,a,a0logaNbabN(a0,a1,N0).
34.对数的换底公式
logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).logma
nn推论logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).mlogaN
35(对数的四则运算法则
若a,0,a?
1,M,0,N,0,则
(1)loga(MN)logaM,logaN;MlogaM,logaN;N
(3)logaMnnlogaM(nR).
(2)loga
36.设函数f(x)logm(ax2,bx,c)(a0),记b,4ac.若f(x)的定义域为2
R,则a0,且0;若f(x)的值域为R,则a0,且0.对于a0的情形,需要单独检验.
37.对数换底不等式及其推广
1,则函数ylogax(bx)a
11
(1)当ab时,在(0,)和(,,)上ylogax(bx)为增函数.aa
11)和(,,)上ylogax(bx)为减函数.,
(2)当ab时,在(0,aa若a0,b0,x0,x
推论:
设nm1,p0,a0,且a1,则
(1)logm,p(n,p)logmn.
5
(2)logamloganloga2m,n.2
38.平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有N(1,p)x.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
as1,n1
n(数列{an}的前n项的和为sna1,a2,,an).
sn,sn,1,n2
40.等差数列的通项公式
ana1,(n,1)ddn,a1,d(nN*);
其前n项和公式为
sn(a1,an)
n2nan(n,1)
1,2d
d
2n2,(a,1
12d)n.
41.等比数列的通项公式
ana1qn,1a1
qqn(nN*);
其前n项的和公式为
a1(1,qn)
s1,q,q1
nna1,q1
a1,anq
或s1,q,q1
n.
na1,q1
42.等比差数列an:
an,1qan,d,a1b(q0)的通项公式为
b,(n,1)d,q
a1
nbqn,(d,b)qn,1,d
q,1,q1;
其前n项和公式为
nb
s,n(n,1)d,(q1)
nd1,qn
(b,d.
1,q)q,1,1,qn,(q1)
43.分期付款(按揭贷款)ab(1,b)n
每次还款x(1,b)n,1元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).
44(常见三角不等式
(1)若x(0,
2),则sinxxtanx.
6y
(2)若x
(0,),则1sinx,cosx2
(3)|sinx|,|cosx|1.
45.同角三角函数的基本关系式
sin2,cos21,tan=
46.正弦、余弦的诱导公式sin,tancot1.cos
nn(,1)2sin,sin(,)n,12(,1)2cos,n2cos,n(,1)
cos,)n,12(,1)2sin,
47.和角与差角公式
sin()sincoscossin;
cos()coscossinsin;
tantantan().1tantan
sin(,)sin(,)sin2,sin2(平方正弦公式);
cos(,)cos(,)cos2,sin2.
asin,
bcos=
b定,tan).a
48.二倍角公式,)(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决
sin2sincos.
cos2cos2,sin22cos2,11,2sin2.
2tantan2.1,tan2
49.三倍角公式
sin33sin,4sin34sinsin(,)sin(,).33
cos34cos3,3cos4coscos(,)cos(,)33.
3tan,tan3tan3tantan(,)tan(,).1,3tan233
50.三角函数的周期公式
函数ysin(x,),x?
R及函数ycos(x,),x?
R(A,ω,为常数,且A?
0,ω,0)的
周期T2
;函数ytan(x,),xk,
2,kZ(A,ω,为常数,且A
?
0,ω,0)的周期T.
7
51.正弦定理
abc2R.sinAsinBsinC
52.余弦定理
a2b2,c2,2bccosA;
b2c2,a2,2cacosB;
c2a2,b2,2abcosC.
53.面积定理
111ahabhbchc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高).222
111
(2)SabsinCbcsinAcasinB.
222(3)SOAB
(1)S
54.三角形cosxa(|a|1)x(2k,arccosa,2k,arccosa),kZ.
cosxa(|a|1)x(2k,arccosa,2k,2,arccosa),kZ.
tanxa(aR)x(k,arctana,k,
2),kZ.
tanxa(aR)x(k,
2,k,arctana),kZ.
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1)结合律:
λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:
(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:
λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律:
(1)a?
b=b?
a(交换律);
(2)(a)?
b=(a?
b)=a?
b=a?
(b);
(3)(a+b)?
c=a?
c+b?
c.
59.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且
8
只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2(
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则
ABOB,OA(x2,x1,y2,y1).
(4)设a=(x,y),R,则a=(x,y).
(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?
b=(x1x2,y1y2).
63.两向量的夹角公式
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1,x2,y1,y2).
cos(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
64.平面两点间的距离公式
d
A,B=|AB|(x1,y1),B(x2,y2)).
65.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则
A||bb=λax1y2,x2y10.
ab(a0)a?
b=0x1x2,y1y20.
66.线段的定比分公式设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)是线段PP12的分点,是实数,且PP1PP2,则
x1,x2xOP1,1,OP2OPy,y1,2y1
1,1t().,(1,t)OPOPtOP121,
67.三角形的重心坐标公式
?
ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则?
ABC的重心的坐标是G(x1,x2,x3y1,y2,y3,).33
68.点的平移公式
?
注:
图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y),且PP的
坐标为(h,k).„?
x?
x,hxx?
h?
OPOP,PP.
?
?
yy,kyy,k?
?
?
69.“按向量平移”的几个结论
9
(1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P?
(x,h,y,k).
(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为yf(x,h),k.
(3)图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C的函数解析式为yf(x,h),k.
„„(4)曲线C:
f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为?
?
?
?
.f(x,h,y,k)0
(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).
70.三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则
222
(1)O为ABC的外心OAOBOC.
(2)O为ABC的重心OA,OB,OC0.
(3)O为ABC的垂心
OAOBOBOCOCOA.(4)O为ABC的内心
aOA,bOB,cOC0.(5)O为ABC的A的旁心
aOAbOB,cOC.
71.常用不等式:
22
(1)a,bRa,b2ab(当且仅当a,b时取“=”号)(
a,b当且仅当a,b时取“=”号)(2
(3)a3,b3,c33abc(a0,b0,c0).
(2)a,b
R,
(4)柯西不等式
(a2,b2)(c2,d2)(ac,bd)2,a,b,c,dR.
(5)a,ba,ba,.
72.极值定理
已知x,y都是正数,则有
(1)若积xy是定值p,则当xy时和x,y有最小值2p;
(2)若和x,y是定值s,则当xy时积xy有最大值
2212s.4推广已知x,yR,则有(x,y)(x,y),2xy
(1)若积xy是定值,则当|x,y|最大时,|x,y|最大;
当|x,y|最小时,|x,y|最小.
(2)若和|x,y|是定值,则当|x,y|最大时,|xy|最小;
当|x,y|最小时,|xy|最大.
73.一元二次不等式ax,bx,c0(或0)(a0,b,4ac0),如果a与22
ax2,bx,c同号,则其解集在两根之外;如果a与ax2,bx,c异号,则其解集在两根之间.简言之:
同号两根之外,异号两根之间.
x1xx2(x,x1)(x,x2)0(x1x2);
xx1,或xx2(x,x1)(x,x2)0(x1x2).
74.含有绝对值的不等式
当a>0时,有
xax2a,axa.2
10
xax2a2xa或x,a.
75.无理不等式
(1
f(x)0
g(x)0.
f(x)g(x)
f(x)0
(2
g(x)g(x)0或f(x)0.
f(x)[g(x)]2g(x)0
f(x)0
(3
g(x)g(x)0.
f(x)[g(x)]2
76.指数不等式与对数不等式
(1)当a1时,
af(x)ag(x)f(x)g(x);
f(
log)logx)0
af(xag(x)g(x)0.
f(x)g(x)
(2)当0a1时,
af(x)ag(x)f(x)g(x);
f(x)0
logf(x)log
aag(x)g(x)0
f(x)g(x)
77.斜率公式
ky2,y1
x(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)).
2,x1
78.直线的五种方程
(1)点斜式y,y1k(x,x1)(直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k)(
(2)斜截式ykx,b(b为直线l在y轴上的截距).
(3)两点式y,y1
y,yx,x1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).21x2,x1
(4)截距式xy
a,b1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b0)
(5)一般式Ax,By,C0(其中A、B不同时为0).
79.两条直线的平行和垂直
(1)若l1:
yk1x,b1,l2:
yk2x,b2
?
l1||l2k1k2,b1b2;
?
l1l2k1k2,1.
(2)若l1:
A1x,B1y,C10,l2:
A2x,B2y,C20,且A1、A2、B1、B2都不为零,?
l1||l1B1C1
2A
A;
2B2C2
11
?
l1l2A;1A2,B1B20
80.夹角公式k2,k1|.1,k2k1
(l1:
yk1x,b1,l2:
yk2x,b2,k1k2,1)AB,A2B1
(2)tan|12|.A1A2,B1B2
(l1:
A).1x,B1y,C10,l2:
A2x,B2y,C20,A1A2,B1B20
直线l1l2时,直线l1与l2的夹角是.2
81.l1到l2的角公式k,k1
(1)tan2.1,k2k1
(l1:
yk1x,b1,l2:
yk2x,b2,k1k2,1)AB,A2B1
(2)tan12.A1A2,B1B2
(l1:
A).1x,B1y,C10,l2:
A2x,B2y,C20,A1A2,B1B20
直线l1l2时,直线l1到l2的角是.2
(1)tan|
82(四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:
经过定点P0(x0
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