金融工程计算及答案.docx
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金融工程计算及答案.docx
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金融工程计算及答案
1、一份货币互换协议距离到期日还有15个月,涉及按本金2000万英镑、利率
14%计算的利息与按本金3000万美元、利率10%计算的利息之间的交换,每年交换一次。
英国和美国的利率期限结构均是平坦的,如果现在签订互换协议,互换的美元利率为8%,
英镑利率为11%。
所有的利率均按年计复利。
当前的汇率(英镑/美元)是1.6500。
对于英镑的支付方而言,互换的价值为多少?
对于美元的支付方呢?
【答】
谨互换鱼含以下现金沆的交换:
英镑利息主20X0.]4=2.X百万
美元利息壬30X(1]=3乏万
对亍赏帀互换*期未一还有本金的交换。
在谆互换下,英镑便券的价值为*
二笔+百万英携
U11-】.丨严
美元倩券的价值为:
+—■=3工兒百万轰元
l.WL08
囱此.对英蜒付方帀吉.互换的价值为:
32.92-22.74X|.65-J.60百万关元
对芙元支付方而言价值为4,6(1百万美元.
2、一家金融机构与公司Y签订一份10年期的货币互换协议。
根据互换条款,金融机构按年
利率3%收取瑞士法朗利息,并按年利率8%支付美元利息,利息交换每年进行一次。
本金分
别为700万美元和1000万瑞士法朗。
假设在第6年末公司宣布破产,当时的汇率为0.8美
元/瑞士法郎。
金融机构的损失是多少?
假设在第6年年末,对所有期限而言瑞士法郎的利
率均为3%,美元利率均为8%。
所有利率按年计复利。
远期汇率与即期汇率之间的关系为:
在本题中,r=0.08,=0.03,那么在第六年底『我们有’
勺a
0.8000
1
yrfonvaid:
0.8300
r
二
yrforward:
0.8796
3
vrfoiArard:
■
0.9223
4
vrfmxvard:
0.9670
308.400
2%J00
2S3300
(iTw7
2,400Jno(]+8%}+
_679.840
现金淀如下’
年U!
D
付款Cf
IF收就
迖期汇率C
HF等忙的USD
班全流
6
560,
000
300.0000.8000
240,000
(320,D00)
7
帧
000
300.0000.S3O0
251.600
⑶&400)
K
560,
0(X1
3000000.8796
263,000
(296JOO)
9
560,
000
300.000(19223
276,700
(283300)
10
7.560
000
IOJOO.OOO0.96?
)
9.960.100
2.4OCJ00
所以.当沦司在箕&年琐产时.基拐失为679.S4O元.
证明:
对于美式期权有,C?
十决申<户+丄€「+d+x
由于尸>p,祈以.
由于在无红利洁老下.€-=C\蘭以
Jw<f
红利的存在降低看涨期权的价值,提高看跌期权的价值,因此有红利的情形下,不
等式仍然成立。
对于左边的不尊式,可以通过掏适组合匕
(1)0式看涨期权+现金流—X
(2)餐式看扶期权+1份投農
此处.明权的麺明日卸执厅价格相同n
对于组合门),衽菱窮日T.其价值为:
-XQ]—D+Xf■件口糾$厂卞|-口严‘十才'-]f
討于组合
(2).若期权没有強提曲执存・则在到朝日T,其价憶为:
111^x15.,Af+atrJ
若期枚被埠前之行.負協在时刻厂被执行、则其价信为:
A十Derr
在无套利条件下,我们可以得到
尸+5行<€+£>+A
1假设RQ即交易对手报出的龙割价格大于现货价恪的终值・在这种惜况F,套利者盯以按无凤险利率厂借人$逼釘期盟为T-t.然后用S购买一单位标的贺产、同时走出一份该资产的远期合釣,交割价格为4在丁时刻.谛套利者可将一单位标的资产交割换得K现金.并归还僧款本息时(卜°,从而实现SF的无风险利润.
2若KW"・即交割价格小于现货谕格的终值.銮利者可进疔反向崔作:
即卖空标的
资产"将所得收入按无凤检利率r进行投畫■期限为T—J同时买进一份该标的瓷产的远期合约.交割价格为K・在厂时刻,套利者收到投资本息时2・并以玄现金购买一单笛标的资产,用于口还卖空时衙入的标的赍产.从而实现K的利润・
无收益资产远期合约价格与远期价值假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元,无
风险连续复利年利率为10%,试求该股票3个月远期价格。
如果三个月后该股票的市价为15元,求这份交易数量为100单位的远期合约多头方的价值。
I解靳】根据题意,有£=20』=L0%.丁-20・25・由于股票期间无收盘所以,该股票3个月远期价格F=*n=20yg°工=20"(元人
三个月后・对于多头力*逆.饮远期合约的价值为/=5f-A:
e-^3=15x100-
|-20.51x100=-551(元人
支付已知收益率资产远期合约的定价(股指期货)2007年9月20日,美元3个月期无
风险利率为3.77%,S&P500指数预期红利收益率为1.66%。
当S&P500指数为1518.75点时,2007年12月到期的S&P500指数期货SPZ07相应的理论价格应为多少?
【解析1由于能P500抬数期货总在到期;1的第三牛星朋五到期,抜此2007年9月20日
IES&P500期祈到期时间为3亍月*所以.SPZO7的理论价格为「
F='=15l8.75xc?
12=152678
某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息,该股票目前市价等于30元,所
有期限的无风险连续复利年利率均为6%,某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头,
交易单位为100。
请问:
①该远期价格等于多少?
若交割价格等于远期价格,则远期合约的初始价值等于多少?
②3个月后,该股票涨到35元,无风险利率仍为6%,此时远期
价格和该合约空头价值等于多少?
【解析】①2个月和&个月后派发的1元股息的现值垃+lxg12=1*97
佛t上
(元人远期价格F=(5-Z)/r_r|=(30-L97)«13=28.88(元人为交割价格等于远期
价格时*则远期合约的初始价値为入
②3个乃石・股票在2个月后将濾发I元股息.则:
合约远期价值斤二(鼻—人))二卜5—1次严衣/唸
=34.52(元)
合釣劣头KH肖/二[込-人―府心)卜100
■32"
-4S%a—-fl%匸
=35-lx^12-2S.88x^验X100
=556(元人即该件约帘头价值等于-鮎6元。
最便宜交割债券期货短头寸方决定交割,可以从以下表中选出最便宜交割债券。
假定最近一次的期货报价为93-08,即93.25美元,试问应选择那种债券?
债券
愦券价格(美元1
转撫因子
1
轨50
1.03&2
O
iL
113.50
1.0188
3
119.75
1.2615
【钳H】交割毎种债券的成本如下*
備养1:
99.d0-<93*2bXI.0382)=2.69美元:
债养2:
113.oO-(93.2&X1.5188)=1.8756元:
债券3:
119,75-(93.25X1.2615)=3.12美元.
囲此.晟便宜交割债弄为倩券2.
标准券期货理论报价2002年7月30日,2002年9月到期的国债期货合约的交割最
合算的债券是息票率为13%付息时间分别为每年的2月4日和8月4日、将于2023年
2月15日到期的长期国债。
假设利率期限结构式平的,半年复利的年利率为12%该债券
的转换因子为1.5,现货报价为110。
已知空方将在2002年9月30日交割,试求出期货的理论报价。
[.闾]该只国债期货合约时间表如下:
壽息支忖当前时间壽息支忖期货狗期n养息支忖
I1111
02.2.402.7.3002.8.4I02.9.30I03*2.4
▼▼IT
176A占黃57A127天
债券的现金价格等于规货报价加上从上■次时息至今的应计利息,閔02年2刀!
口时,
债券现金价为110+—X—-11632・
1812
在5天后.倩券持有者将收到6.5M元的利息.设以连续宣利计息的年利率为I则仃;
十(\2%-口为用2
-|1+-^-•解得:
r=11.65%,故该利息的贴现偵为6+5x^咖—649。
期货合约将持续©天,如果期货合约是有关于息票率为13%的fit聲,期货的现金价格声
(116.32-6.49)(?
侶=|1二03。
在厳券交割时.会产生骑天的应计利息.如果期货令釣是冇关于息票率为13驚的债券,
13S7
期货的报价为112.OS-—X—=112.D2.
21€4
由转换定亿得出.1.D倍的标那券等价于亍1雅的偵券,禺此,期货的报价应为:
(考)利率互换的定价:
运用债券组合
假设在一笔利率互换协议中,某一金融机构支付3个月期的LIBOR,同时收取4.8%的
年利率(3个月计一次复利),名义本金为1亿美元。
互换还有9个月的期限。
目前3个月、6个月、9个月的LIBOR(连续复利)分别为4.8%、5%和5.1%。
试计算此笔利率互换对该金融机构的价值。
1Q0
【解折】左这个例子中’^=l000x-^—=120万美元.因此;
8^=120八曲=+门0,"曲+120/咲山=9975.825(万英尤}
由于互換则好逐有9个月的期限’处于重新确宦利聿的时St逊此=10000(万美元人因此,对该金融机构而冷,次利率互换的份但为9975.825-10000=-24.175{万类元九显然.对该金融机构的交易对于来说.此笼利率互换的价倩为正,即Ml万美元"
假设在一笔利率宝换合约屮,某一金融机构每半年支时6个月期的LIBOR•同时收取8%的轩利率(半年计•次员利h名义本翕为I亿吏元、互换辻有145年的期限一3个月、9个月和15个月的06?
(连變复利率〉分别为10%,10.器和11蚣上一次利息支付日的5tfiLIBOR为10_腕(半年计一状复刘人试分别运用债卷组合和观1俎合计算此笔利率互换对该金融机构的价ffU
【解枷】①运用债券组合
从題町知:
k=1000=400(力美元).=1000x°=510(万美元人故:
22
=^1^23+4^,05Kfl75+Ae^125=0.9824(亿美元)
^p?
-(100+5.1)^^-1.02?
!
(亿关元)
所以,此运利率互换対该金融机梅的价值为:
98.4-102.5=^27(万美元人
②运用FR.4组合
3牛刃后那世交换时金融机构的价忸为;
05x100x(0.08-0」02)fT嗣算=-1”(万关元)
由于3个月穷|9个丿I的远期利率为:
0」°“%一01°"°31X5,且10.759^的
0.5
谨续貝利对应的毎半年汁-次宜利的利率为*2x(tfa,o^2-l)=QJ104Jo
所以.9亍月启珈笔现金流的价侑为I
0.5x100x(0.08-0.1lQM)^1^75=-141(万美元)
同理可计宦得.从现在幵蛤9个月到“个月的远期利率为11.75%,对应的毎半年计-•次貝刊的利率为12.102曜
所以*13个月厉那笔现金流玄换的价值淘;
0.5x100x(0.08-0.12102)=-179(万董元】
所IJU此笔利滞吃换时诗命融机构的仰伯为;-IO7-141-|79=-127f万姜无人
假设美元和日元的如6?
的期限结构是平的,在II本址4鷺而在簧国是9%(均为逹续熨利人某一金融机构在一笔货币互换中每年枚入日元,利率为5%,同时村岀美元,利率为8%-两种货币的本金分别为LOOO万美元和120000万日元.这笔互换还冇3年的期限,每年交换—次利息,即期汇率为1美兀二lioH兀。
试分别运宙倩券组合和远期外汇组合讣謀此筆雄币互换对该金融机构的价偵.
L!
i-111①运用债券组苔如卑以类元泻木币*那么士
Bq—Q.QE'+O.8e^m<[+IOR^-0^3-964.4f万美元)
Bf=60e^M1+60e-°M1+126^W-J=123055(万H托j
所虬此笔張币互换对该金融机构的价備为】给樺J站/%】0—9644=154.3(万羌元人
②握用远期外汇俎合
却期汇率为IJQtl-ho口心或石址1口汇nmtxm羌兀.因为蓋兀和口元的年利星为碎+^F=Ser~r^\,年期、两年期初三年期的远期『率分别为2
0009091严“=0.009557
0.009091^°^=0010047
O.OO9O9U0ft5"3=0010562
与利息空換尊析的三射诞期件封的价值势别为*
(0L8-6(1x0.009557)^W1=20.71(万芙元)
|08-珂“00】03?
*41呱「=1右』丁(万奧允)
(08-60x0010562)*?
^^=12.69(万尧元)
与最终的本金交换寻价的远期合约价值为:
(10-1200x0.010562)^-^=-204.17(万芙元)
因为该金融机构收入美元付出美元,所以此笔货币互换对该金融机构的价值为:
201.46-2071-16.47-1X69=154.3(万美元)
运用利滦互换进行信用会利
%设取R企司弟想佶入1年期的100万美元借款・A想借入与E个月期相关的浮动利率借款.B想借入同定利率借款.两彖公司信用等级不同「故市场向它们提供的利率也不同(如下表所示人请简要说明两家脸司应如何运用利率互换逬荷仁用套根h
A公司和B公同的憎從皿本
A
B
借入圏定利糜
10.
12.0%
带入浮动利事
LIBOR十0+25%
LI0OU十0.论
*左申的利率均为一年if—次篁利的年利率*
【解析】由题虑:
及衣中数据4^1:
A公可的比较优势在于借入因定利率款项.而B公司按浮动利率借款有比较优勢,切两壕公同的总收益(潜在的总査利}強
(12%-10.8%)-[(ZIZ?
OA+075°0)-(AZ2?
OA+025%)]=0J?
1>
肖两麻公司利用拘率互换进行仁用套利时,讨按如卜%昭操邙:
A公司在冥H柑比辍优势的阖定利率市场上以10.8%的園定利和3入100万美元,B在其具有比较优势的浮动利率市场上以LIBOR+Q.75%的浮动利率借入100万美元.然后运用利率互换进荷信用套利以达到降低瘵竇成本的目的.由于本金相同.取方不必交换本金*只需空擬利息现金流*即A向E支付浮动利息“B向A支付圜定利息°
由于两家公司信用等级不同・信用等级高的节约成本会更冬.所以.当假设A公司解约成本0_5騙B公可解的成本0_典时,利率2£换流程Rlftf)下:
股票看涨期权空方的初始保证金假设某个股票看涨期权的相关参数是:
股票市价为15
美元,执行价格为20美元,期权费为1美元,试问该看涨期权空方应缴纳多少的初始保证金?
『解析】按照上述两种公式计算出*的结果分别为*
*1:
[l+15x20%-(20-15)]xl00=-100(美元)
J2:
(1+I5xl0°o)xl00=250(冥元)
因此’尖出这十涨期权的投资者「除门理将期枕费收入100美兀旅结在账户内Z外"还要向经纪公司缴纳150養元的初始保证金。
假设股票的当前价格是20美元,3个月后,该股票的价格可能为22美元或者18美元,个欧式看涨期权的执行价格是21美元,确定看涨期权的当前价格。
【解析]建立…卜无凤脸投资姐合.
•购买池幔股票i
•桃空一个欧成看涨期权:
•选择代使得投资组合无风险、即;
22A-1=18A-O=>A=U.25(股h
确运无風险投资组合的价值
①3个月后无凤險投贸乩會的价值为:
22x0.25-1=
®当前时刻无処险投蚩组合的价值为;4.5e-°121,021=43670(美元h
•确從期权的价值
①无凤险投瞬组會中专前胶幣的价值为:
(125x20-3[養元h
住期权的价砒为:
5-4.3670=0.633(美尤人
假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价格为50美元,波动率为每年30%,无风险连
续复利年利率为5%,期权期限为2年,该股票1年期的美式看跌期权协议价格为52美元,
【屮枷】为了构适二叉树,把期枕仃阪明仆欣两段,無以•年,根薨丄面会或,町算un
-一
693
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■
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节点丄
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节点2
溜此.叮以imi出该陀票tE期忸有效期内的-叉树,如占團所示*在毎亍节点址荷两亍值.上面个丧示股購价格*卜面一节表示期杖价慎.股術上涨概率总宦等于650^7.下降概节点話鄂总足尊于0.1903=
分别对三牛节点处的期权价值进疔城解丄‘—
节点1:
当不行权时,厲二八旳[05097乂0+0490弭2]二0少(美元人而当到期再fT权时.期权价值均久、=0(美兀)・所以该节点处的期权价值为0一站義兀a
节点及当不行权时.fdl=[0.5097x2+0.4903x21.56]^12.12(美元人而肖刮
期再疔权吋,期权价位为人严阳一阴5=1196(芙元打所以谏节点处的期杖{fi>314.96美元.
节点31当不行权时.[05097x093+04903x1496]=743(美记),而当到朗再行权时*期权价值为7;=0〔美元人所以该节点处的期权价值为了43美元。
粽上所述*该荚武看跌期枫的价偉为7,43荚元"
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