长方体表面涂色.doc
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长方体表面涂色.doc
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五数奥:
立体图形的涂色问题
姓名
例1.一个表面都涂满红色的正方体,在它的每个面上等距离地切两刀,可得到27个小立方体,而且切面都是白色,这27个小立方体中,一面是红色的有多少个?
二面是红色的有多少个?
三面是红色的有多少个?
各面都没有红色的有多少个?
解析:
仔细观察
(1)一面涂有红色的小方块位于每个面的中心。
有6个
(2)二面涂有红色的小方块位于每条棱的中间。
有12个
(3)三面涂有红色的小方块位于每个角上,永远都是8个。
(4)各面没有红色的小方块位于立方体的内部,用总的小方块的数量减去一面、二面、三面涂红的块数,就可以了。
有1个
进一步归纳:
对于一个n×n×n的正方体,其涂色情况如下:
(1)三面涂色的:
8个
(2)二面涂色的:
(n-2)×12个
(3)一面涂色的:
(n-2)×(n-2)×6个
(4)各面没涂色的:
总的个数减去上面三类的总个数
或(n-2)×(n-2)×(n-2)个
例2.有个长方体,长、宽、高分别是3、5、7(单位:
厘米),分别将其表面涂上红色,然后将它们分割成棱长为1厘米的小立方体,一面是红色的有多少个?
二面是红色的有多少个?
三面是红色的有多少个?
各面都没有红色的有多少个?
解析:
(1)三面涂色的在角上,有8个
(2)二面涂色的在每条棱中间,长上面有1×4=4个,宽上面有3×4=12个,高上面有5×4=20个,总共36个
(3)一面涂色的在每个面的中间,上、下面上有1×3×2=6个,左、右面上有3×5×2=30个,前、后面上有1×5×2=10个,总共46个
(4)各面都没涂色的有3×5×7-8-36-46=15个
进一步归纳:
对于一个a×b×c的长方体(a、b、c表示长、宽、高),其涂色情况如下:
(1)三面涂色的:
8个
(2)二面涂色的:
[(a-2)+(b-2)+(c-2)]×4个即(a+b+c-6)×4个。
(棱长总和公式)
(3)一面涂色的:
[(a-2)×(b-2)+(a-2)×(c-2)+(b-2)×(c-2)]×2个(表面积公式)
(4)各面没涂色的:
总的个数减去上面三类的总个数
或(a-2)×(b-2)×(c-2)个(体积公式)
练习:
1.一个棱长为3厘米,在其表面涂满红漆,然后切成棱长都是1分米的小正方体,问三面、二面、一面涂有红漆各有多少个?
六面都没红色有多少个?
2.一个长方体木块,长、宽、高分别是5、3、4分米,在它六个面上漆满油漆,然后踞成棱长都是1分米的正方体木块。
问这些小正方体木块中,三面、二面、一面有油漆的各多少个?
各面都没有油漆的有多少个?
3.把若干个相同的小正方体堆成一个大的正方体,然后在大正方体的表面涂上颜色,已知两面被涂上颜色的有36个,那么这些小正方体一共有多少个?
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