用分离变量法解常微分方程.docx
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用分离变量法解常微分方程
用分离变量法解常微分方程
1直接可分离变量的微分方程
形如
dy=fxydx
的方程,称为变量分离方程,这里fx,y分别是的连续函数
如果(y)工0,我们可将()改写成
丄fxdx,
(y)
这样,变量就“分离”开来了.两边积分,得到
通解:
-d^=f(x)dx+c.
(x)
其中,c表示该常数,,f(x)dx分别理解为,fx的原函数.常数
(x)(y)
c的取值必须保证()有意义.使y0的yy0是方程的解.
例1求解方程'1x2dy1y2dx0的通解.
(2)两边积分:
arcsinyarcsinxc.
1也是原方程的
可以验证y1也是原方程的解,若视x和y是平等的,则x
我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题•
例2曲线L上的点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分.求曲线L的方程•
程,用大写的(X,Y)表示法线上的动点,用小写的表示曲线L上的点,法为过
点P(x,y)的法线的斜率.
解:
由题意得
从而法线PQ的方程为
1
Yy(Xx).
y
通过上面的介绍,我们已经知道了什么方程是变量分离方程•下面,我们再
介绍几种可化为变量分离方程的类型
齐次方程
形如
dy
dx
对方程做变量变换
即yux,于是
鱼xduu.dxdx
将,代入(),则原方程变为
(u),
du
x-
dx
解:
原方程化为
2
xyx
dy
dx
dy
dx
于是,令u丄,即y
x
xu,将3u巴代入该方程,得dxdx
duu2
ux—
dxu1
整理,即有
duu2u
xu
dxu1u1
分离变量,得
u1dx
duu0,
ux
两边积分,得
uInuInxIn&,
将u—代回来,得
x
-In—xc1Inc1y,
xx
y
c〔yex,
即
y
ycex,其中c为任意常数.
另,u0即y0也是原方程的解,但此解课包含于通解c0之中.故,方程
y
的通解为ycex.
形如
dyaixbiy&dxa2xb2yC2
的方程,这里ai,a2,bi,b2,Ci,C2均为常数.此方程经变量变换可化为变
量分离方程.
我们分三种情形来讨论:
勺虫k常数的情形.
b1b2c2
这时方程化为
有通解
空k
dx
kxc,
其中c为任意的常数.
如果方程2.1
是变量分离方程.
中“02不全为零,方程右端分子、分母都是x,y的一次多项式,
因此
()
-a/b?
yg0,-a2xb2yc20.
代表Oxy平面上两条相交直线,设交点,.若令
「Xx,
丫・y.
则()化为
a1Xb1Y0,
a2Xb2Y0.
从而()变为
dYaiXbiYdXa2Xb2Y
因此,求解上述变量分离方程,最后代回原变量即可得原方程()的解
如果方程()中ciC20可不必求解(),直接取变换u丄即可.
x
上述解题的方法也适用于比方程()更一般的方程类型
例4求解方程
1
6,y
于是,令
两边积分,得
因此
代回原变量,得
因此,方程()的通解为
2
y
其中,c为任意常数.
通过上述的求解,我们发现以上的方法是非常的准确的,但是对于像例5这
种形式的的方程,我们发现还可以用另一种方法一一凑微分进行求解.
凑微分
当方程
dyaixbiyCi
dxa2xb2yc2
满足:
aib2()
时,方程会有更简便的求解方法(全微分的知识的运用).
即:
将a2d代入方程史空哑空中,
dxa2xb2yc2
有
dya2yG
dxa2xb2yc2
即
(aixbiy&)dx(a2Xb2yC2)dy
展开,得
有条件()可知,
()
a2d(xy)a2xdya2ydxa2xdygdx
将()代入()中,得
22
d(2a2xyb2y2c2ya1x2c1x)0.
很显然,这是一个全微分方程,从而原方程的通解为
2a2xyb2y22c2ya1x22c1xC,其中C为任意常数.
例5求解方程眇.
dxxy8
解法一:
该方程属于()的情形.于是,令uxy.则dudxdy
所以,原方程可化为
du3
dxu8
这是一个分离变量方程.整理可得
u216u6x.
将uxy代入,可得
(xy)216(xy)6x
即,通解为
x2y22xy10x16yc.其中c为任意常数.
观察例6可以发现,方程也满足条件,于是用凑微分的方法同样可以求解
解法二:
原方程变形为
(xy8)dy(xy5)dx.
整理得
(xdyydy)ydy8dyxdx5dx0.
所以
..12c12_._
d(xyy8yx5x)0.
22
11
两边积分,得原方程的通解为xy討8y-x25x=C,其中C为任意常数.
以上的两种方法都是求解微分方程的常用方法,下面再介绍几种比较常见的
课分离变量的方程.
里的a,b,c均为常数.
做变量变换
axby
这时有
1dy
dx
du
dx
1dx.
du
bf
解:
因为
可以化为
于是,令
du
dx
2x
2yd"
dx
2x2xu,
将代入可以知道,这是一个分离变量方程•
即
1duxdx.2u2
两边同时积分,得
Inu1x2C].
再将代入,得
Inx2y22x2g.
所以
2
x2y22ex01
整理得,
2
x2y22Cex,其中C为任意常数.
其他几种变量能分离的方程类型
形如
yfxydx
的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程.
xg
xydy0
将变形为
dy
xgxy
dx
yfxy
做变量替换
uxy.
这时有
xdu
udx
dy
2,x
是变量分离方程.
形如
的方程是变量分离方程
做变量替换
则
代入原方程,得
——duuguufu
uxy,
fudu
1dx.
x
1dx.
fxy,
dyxduudx
dxx2
是变量分离方程.
形如
的方程是变量分离方程
做变量替换
则,有
2
dyxdu2xudx,
!
dx,
x
所以,原方程同样是变量可替换方程•
形如
dx
ax
by
(其中
满足
)的方程.
可令
,方程化为齐次方程
dz1
dx
事实上,
dy
dx
dz
dx
由于
dz
—x
dx
by
bz
bz
所以
dz
dx
ax
bz,
dz
dx
再,设
■-,可化为变量分离变量.
x
除此之外,还有一些一般形式,如
dy
dx
u—化为变量分离方程求解;形如Mx
x,y
xdx
ydyN
MN为x,y齐次函数,次数可以不相同)
也可通过变量替换
可以通过变量替换
x,yxdyydx(其中
xcos,ysin
化为变量分离方程求解.变量代换是求解一阶微分方程的一种重要方法,在一阶
微分方程的初等解法中具有重要的作用
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- 分离 变量 法解常 微分方程