北师大版高中数学选修21《圆锥曲线与方程》课时练习附答案.docx
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北师大版高中数学选修21《圆锥曲线与方程》课时练习附答案
北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》同步课时作业
3.1.1 椭圆及其标准方程
A组
1.F1,F2是定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则点M的轨迹是( )
A.椭圆B.直线C.线段D.圆
2.已知椭圆C上任意一点P(x,y)都满足关系式=4,则椭圆C的标准方程为( )
A.=1B.=1
C.=1D.+y2=1
3.椭圆的两个焦点的坐标分别为(0,-4),(0,4),并且经过点(,-),则椭圆的标准方程是( )
A.=1B.=1
C.=1D.=1
4.椭圆=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于( )
A.2B.4C.6D.
5.已知F1,F2是椭圆C:
=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=( )
A.3B.9C.D.12
6.经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆的标准方程为 .
7.=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|= ,∠F1PF2的大小为 .
8.已知动圆M过定点A(-3,0),并且在定圆B:
(x-3)2+y2=64的内部与其相内切,则动圆圆心M的轨迹方程是 .
9.求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-3,0)和(3,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)过点(-3,2)且与=1有公共焦点.
10.如图,F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,点P在椭圆上,若△POF2为面积是的正三角形,试求椭圆的标准方程.
B组
1.设0≤α<2π,若方程x2sinα-y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是( )
A.B.
C.D.
2.设P为椭圆=1上的任意一点,F1,F2为其上、下焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是 .
3.已知A点的坐标为,B是圆F:
+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为 .
4.已知椭圆的焦距是2,且过点P(-,0),求其标准方程.
5.如图,已知椭圆的方程为=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2的面积.
6.给出如下定义:
把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0,如图,点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2分别是“果圆”与x,y轴的交点.
(1)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;
(2)当|A1A2|>|B1B2|时,求的取值范围.
参考答案
A组
1C2B3A4B5A
6.答案:
=1
7.答案:
2 120°
8.答案:
=1
9.解
(1)∵椭圆的焦点在x轴上,
∴设它的标准方程为=1(a>b>0).
∴2a==10.
∴a=5.
又c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.
故所求椭圆的方程为=1.
(2)由已知得c=,设所求方程为=1(a>),
把x=-3,y=2代入得=1,
∴a4-18a2+45=0,
∴a2=15或a2=3(舍去),
∴所求方程为=1.
10.解由△POF2为面积是的正三角形,得|PO|=|PF2|=|OF2|=2,∴c=2.连接PF1,在△POF1中,|PO|=|OF1|=2,∠POF1=120°,
∴|PF1|=2.
∴2a=|PF1|+|PF2|=2+2,
∴a=1+,∴b2=a2-c2=4+2-4=2.
∴所求椭圆的标准方程为=1.
B组
1.C
2答案:
9
3.答案:
x2+y2=1
4.解
(1)若椭圆的焦点在x轴上,设其标准方程为=1(a>b>0),由已知得c=1,且椭圆过点P(-,0),
∴解得
∴椭圆的标准方程为=1.
(2)若椭圆的焦点在y轴上,设其标准方程为=1(a>b>0),则有解得
∴椭圆的标准方程为=1.
综上所述,椭圆的标准方程为=1或=1.
5.解由已知,得a=2,b=,
所以c==1.
所以|F1F2|=2c=2.
在△PF1F2中,由余弦定理,得
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos120°,
即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①
由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,
即|PF2|=4-|PF1|.②
②代入①,解得|PF1|=.
所以|PF1|·|F1F2|·sin120°=×2×,即△PF1F2的面积是.
6.解
(1)由
∴“果圆”的方程为
(2)∵a+c>2b,
∴>2b-a,
∴a2-b2>(2b-a)2,∴.
又b2>c2=a2-b2,
∴,
∴.
3.1.2 椭圆的简单性质
A组
1.设椭圆=1(a>b>0)的离心率为e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)( )
A.必在圆x2+y2=2内
B.必在圆x2+y2=2上
C.必在圆x2+y2=2外
D.以上三种情形都有
2.已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1)B.(5,+∞)C.[1,5)∪(5,+∞)D.[1,5)
3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )
A.B.C.-1D.
4.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A.=1B.+y2=1
C.=1D.x2+=1
5.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为( )
A.2B.3C.6D.8
6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是 .
7.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为 .
8.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为 .
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6.
10.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点.若焦点F1到直线AB的距离为,求椭圆的离心率.
B组
1.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )
A.[6,10]B.[6,8]C.[8,10]D.[16,20]
2.已知c是椭圆=1(a>b>0)的半焦距,则的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.(,+∞)
C.(1,)D.(1,]
3.如图,把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= .
4.已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的直线与椭圆相交于A,B两点.若线段AB中点的横坐标是-,求直线AB的方程.
5.已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|=4,过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M,N两点,设∠MF1F2=α(0≤α≤180°),问α取何值时,|MN|等于椭圆短轴长?
6.有一椭圆形溜冰场,长轴长100m,短轴长60m,现要在这个溜冰场上规定一个各顶点都在溜冰边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在何处?
这时矩形的周长是多少?
参考答案
A组
1A2C3C4A5C
6答案:
=1
7.答案:
(-1,1)
8.答案:
=1
9.解:
(1)设椭圆的标准方程为=1或=1(a>b>0).由已知a=2b,①
且椭圆过点(2,-6),
从而有=1或=1.②
由①②,得a2=148,b2=37,或a2=52,b2=13.
故所求椭圆的方程为=1或=1.
(2)如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且OF=c,A1A2=2b,
∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18.
故所求椭圆的方程为=1.
10.解:
由题意,直线AB的方程为=1,
即bx-ay+ab=0.
∵焦点F1到直线AB的距离d=,
∴.
两边平方、整理,得8c2-14ac+5a2=0,
两边同时除以a2,得8e2-14e+5=0,
解得e=或e=(舍去).
B组
1C2D
3答案:
35
解析:
设F1是椭圆的另一个焦点,则根据椭圆的对称性,知|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理,|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a.
又|P4F|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35.
4.解依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理,得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
由线段AB中点的横坐标是-,得=-=-,解得k=±,适合①.
所以直线AB的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.
5.解(方法一)如图,
建立平面直角坐标系,则a=3,c=2,b=1,
∴椭圆方程为+y2=1.
当直线MN斜率不存在时,得|MN|=,不合题意.
故可设过F1的直线方程为y=k(x+2).
∴
①代入②,整理可得
(1+9k2)x2+36k2x+72k2-9=0,
∴x1+x2=,x1·x2=.
代入|MN|=,可得
|MN|=.
∵=2,∴k=±,
即tanα=±,∴α=或α=π.
(方法二)如图所示建立平面直角坐标系,由已知可得a=3,c=2,b=1.
令|F1M|=x,则|F2M|=6-x,|F1F2|=4,
在△MF1F2中利用余弦定理得x=,
若令|F1N|=y,则|F2N|=6-y,|F1F2|=4,
在△NF1F2中利用余弦定理得y=,
∴|MN|=x+y=,∴=2,cosα=±,
∴α=或α=π.
6.解分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x轴和y轴,以长轴的中点为坐标原点O,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上,易知矩形ABCD关于原点O及x轴、y轴都是对称的.已知椭圆的长轴长2a=100m,短轴长2b=60m,则椭圆的方程为=1.
设顶点A的坐标为(x0,y0),x0>0,y0>0,
则=1,得(502-)=(502-).
根据矩形ABCD的对称性,可知它的面积S=4x0y0.
由于(502-)
=.
∴当时,取得最大值,此时S也取得最大值.此时x0=25,y0=15,
矩形ABCD的周长为4(x0+y0)=4(25+15)=160(m).
因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25m的直线,这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点
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