步步高高三数学大一轮复习 专题一函数图象与性质的综合应用教案 理 新人教A版.docx
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步步高高三数学大一轮复习专题一函数图象与性质的综合应用教案理新人教A版
专题一 函数图象与性质的综合应用
1.函数的三要素是对应关系、定义域、值域;其中函数的核心是对应关系.
2.函数的性质主要包括:
单调性、周期性、对称性、最值等.
3.求函数值域的方法有配方法、换元法、不等式法、函数单调性法、图象法等.
4.作图一般有两种方法:
描点法作图、图象变换法作图.
5.图象的三种变换:
平移变换、伸缩变换和对称变换.
1.(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f
(1)等于
( )
A.-3B.-1C.1D.3
答案 A
解析 ∵f(x)是奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,
∴f
(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.
2.函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a的最小值为( )
A.B.C.1D.2
答案 B
解析 令f(x)=0,解得x=1;令f(x)=1,解得x=或3.因为函数f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.故b-a的最小值为1-=.
3.(2011·辽宁)设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是
( )
A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)
答案 D
解析 当x≤1时,由21-x≤2,知x≥0,即0≤x≤1.当x>1时,由1-log2x≤2,知x≥,
即x>1,所以满足f(x)≤2的x的取值范围是[0,+∞).
4.(2011·湖北)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,
且a≠1).若g
(2)=a,则f
(2)等于( )
A.2B.C.D.a2
答案 B
解析 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴由f(x)+g(x)=ax-a-x+2,①
得-f(x)+g(x)=a-x-ax+2,②
①+②,得g(x)=2,①-②,得f(x)=ax-a-x.
又g
(2)=a,∴a=2,∴f(x)=2x-2-x,
∴f
(2)=22-2-2=.
5.已知y=f(x)的图象如图,则y=f(1-x)的图象为下列四图中的( )
答案 A
解析 将y=f(1-x)变形为y=f[-(x-1)]
①作y=f(-x)图象,将y=f(x)关于y轴对称即可;
②将f(-x)的图象沿x轴正方向平移1个单位,
得y=f[-(x-1)]=f(1-x)的图象.
题型一 函数求值问题
例1 (2012·苏州模拟)设f(x)=且f
(1)=6,则f(f(-2))的值为________.
思维启迪:
首先根据f
(1)=6求出t的取值,从而确定函数解析式,然后由里到外逐层求解f(f(-2))的值,并利用指数与对数的运算规律求出函数值.
答案 12
解析 ∵1>0,∴f
(1)=2×(t+1)=6,
即t+1=3,解得t=2.
故f(x)=
所以f(-2)=log3[(-2)2+2]=log36>0.
f(f(-2))=f(log36)=2×3log36=2×6=12.
探究提高 本题的难点有两个,一是准确理解分段函数的定义,自变量在不同取值范围
内对应着不同的函数解析式;二是对数与指数的综合运算问题.解决此类问题的关键是
要根据分段函数的定义,求解函数值时要先判断自变量的取值区间,然后再代入相应的
函数解析式求值,在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值.
(2012·广东六校联考)已知f(x)=则f+f的值等于( )
A.-2B.1C.2D.3
答案 D
解析 f=,f=f+1=f+2=,f+f=3.
题型二 函数性质的应用
例2 设奇函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,且f
(2)=0,则不等式≥0的
解集为( )
A.[-2,0]∪[2,+∞)B.(-∞,-2]∪(0,2]
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.[-2,0)∪(0,2]
思维启迪:
转化成f(m) 答案 D 解析 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),不等式可化为≥0,即-≥0. 当x>0时,则有f(x)≤0=f (2),由f(x)在(0,+∞)上单调递增可得x≤2;当x<0时,则 有f(x)≥0=-f (2)=f(-2),由函数f(x)为奇函数可得f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以x≥-2.所以不等式的解集为[-2,0)∪(0,2]. 探究提高 解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质,利用函数的单调性去 掉函数符号是解决问题的关键,由函数为奇函数可知,不等式的解集关于原点对称,所 以只需求解x>0时的解集即可. 设函数f(x)=若f(m) ( ) A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1) 答案 C 解析 f(-x)== 当m>0时,f(m) 当m<0时,f(m) ⇒-1 所以,m的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞). 题型三 函数图象及应用 例3 已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc 的取值范围是_____________. 思维启迪: 可以先画出函数f(x)的图象,通过图象的特征观察a、b、c的关系. 答案 (10,12) 解析 画出函数f(x)的图象,再画出直线y=d(0 0 探究提高 通过图形可以发现a,b,c所在的区间,再把绝对值符号去掉,就能发现ab=1,这样利用数形结合就可把问题化难为易了. 已知不等式x2-logax<0,当x∈时恒成立,求实数a的取值范围. 解 由x2-logax<0, 得x2 设f(x)=x2,g(x)=logax. 由题意知,当x∈时,函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方, 如图,可知即 解得≤a<1.∴实数a的取值范围是. 题型四 函数的值域与不等式恒成立问题 例4 (2012·天津滨海新区五所重点学校联考)定义在R上的增函数y=f(x)对任意x,y∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求f(0); (2)求证: f(x)为奇函数; (3)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围. 思维启迪: (1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法,第 (1) (2)两问可用赋值法解决. (2)将恒成立问题转化成函数最值问题. (1)解 令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0), 即f(0)=0. (2)证明 令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x), 又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x), 即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立, 所以f(x)是奇函数. (3)解 方法一 因为f(x)在R上是增函数, 又由 (2)知f(x)是奇函数. f(k·3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2), 所以k·3x<-3x+9x+2, 32x-(1+k)·3x+2>0对任意x∈R成立. 令t=3x>0,问题等价于t2-(1+k)t+2>0对任意t>0恒成立. 令f(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴为x=, 当<0即k<-1时,f(0)=2>0,符合题意; 当≥0即k≥-1时,对任意t>0,f(t)>0恒成立⇔解得- 1≤k<-1+2. 综上所述,当k<-1+2时,f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立. 方法二 由k·3x<-3x+9x+2,得k<3x+-1. u=3x+-1≥2-1,3x=时,取“=”,即u的最小值为2-1, 要使对x∈R,不等式k<3x+-1恒成立, 只要使k<2-1. 探究提高 对于恒成立问题,若能转化为a>f(x)(或a 定义在R上的奇函数f(x),当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,对于任意的 θ∈,均有f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0,试求实数m的取值范围. 解 因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(x)在(-∞,0]上也是增函数,所以f(x)在R上是增函数,且f(0)=0, ∵f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0, ∴f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m), 于是cos2θ-3>2mcosθ-4m,① 即cos2θ-mcosθ+2m-2>0. 得m>,设h(θ)=, 则h(θ)=4-≤4-2,即h(θ)max=4-2,只须m>4-2. 故实数m的取值范围是(4-2,+∞). 2.高考中的函数零点问题 典例: (2011·山东)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2 考点分析 本题考查对数函数、函数单调性、函数零点等知识,体现了函数知识的综合. 求解策略 解答本题可先确定函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,然后根据a,b满足的条件及对数的运算性质探究出f(x)零点所在的区间,从而对照x0∈(n,n+1),n∈N*确定出n的值. 答案 2
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