《经济数学的基础12》.docx
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《经济数学的基础12》
微分学部分综合练习
一、单项选择题
1.函数的定义域是D.且
2.下列各函数对中,D.,
3.设,则C.
4.下列函数中为奇函数的是C.
5.已知,当( A)时,为无穷小量.A.
6.当时,下列变量为无穷小量的是D.
7.函数在x=0处连续,则k=(C.1)
8.曲线在点(0,1)处的切线斜率为(A).A.
9.曲线在点(0,0)处的切线方程为(A).A.y=x
10.设,则(B).B.
11.下列函数在指定区间上单调增加的是(B).B.ex
12.设需求量q对价格p的函数为,则需求弹性为Ep=(B).
B.
二、填空题
1.函数的定义域是
2.函数的定义域是(-5,2)
3.若函数,则
4.设,则函数的图形关于Y轴对称.
5.1
6.已知,当时,为无穷小量.
7.曲线在点处的切线斜率是
8.函数的驻点是.x=1
9.需求量q对价格的函数为,则需求弹性为.
三、计算题
1.已知,求
.解:
2.已知,求.
解
3.已知,求.
解
4.已知,求.
解:
5.已知,求;
解:
因为
所以
6.设,求
解:
因为所以
7.设,求.
解:
因为
所以
8.设,求.
解:
因为
所以
四、应用题
1.设生产某种产品个单位时的成本函数为:
(万元),
求:
(1)当时的总成本、平均成本和边际成本;
(2)当产量为多少时,平均成本最小?
解
(1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为:
,
所以,
,
(2)令,得(舍去)
因为是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当20时,平均成本最小.
2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为(为需求量,为价格).试求:
(1)成本函数,收入函数;
(2)产量为多少吨时利润最大?
解
(1)成本函数=60+2000.
因为,即,
所以收入函数==()=.
(2)利润函数=-=-(60+2000)=40--2000
且=(40--2000=40-0.2
令=0,即40-0.2=0,得=200,它是在其定义域内的唯一驻点.
所以,=200是利润函数的最大值点,即当产量为200吨时利润最大.
3.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.01q2(元),单位销售价格为p=14-0.01q(元/件),试求:
(1)产量为多少时可使利润达到最大?
(2)最大利润是多少?
解
(1)由已知
利润函数
则,令,解出唯一驻点.
因为利润函数存在着最大值,所以当产量为250件时可使利润达到最大,
(2)最大利润为
(元)
4.某厂每天生产某种产品件的成本函数为(元).为使平均成本最低,每天产量应为多少?
此时,每件产品平均成本为多少?
解因为
令,即=0,得=140,=-140(舍去).
=140是在其定义域内的唯一驻点,且该问题确实存在最小值.
所以=140是平均成本函数的最小值点,即为使平均成本最低,每天产量应为140件.此时的平均成本为(元/件)
5.已知某厂生产件产品的成本为(万元).问:
要使平均成本最少,应生产多少件产品?
解因为==,==
令=0,即,得,=-50(舍去),
=50是在其定义域内的唯一驻点.
所以,=50是的最小值点,即要使平均成本最少,应生产50件产品.
积分学部分综合练习
一、单选题
1.下列等式不成立的是().正确答案:
D
A.B.
C.D.
2.若,则=().正确答案:
D
A. B. C. D.
注意:
主要考察原函数和二阶导数
3.下列不定积分中,常用分部积分法计算的是().正确答案:
C
A.B.
C.D.
4.若,则f(x)=().正确答案:
C
A.B.-C.D.-
5.若是的一个原函数,则下列等式成立的是().正确答案:
B
A.B.
C.D.
6.下列定积分中积分值为0的是().正确答案:
A
A.B.
C.D.
7.下列定积分计算正确的是().正确答案:
D
A.B.
C.D.
8.下列无穷积分中收敛的是().正确答案:
C
A.B.C.D.
9.无穷限积分=().正确答案:
C
A.0B.C.D.
二、填空题
1..应该填写:
注意:
主要考察不定积分与求导数(求微分)互为逆运算,一定要注意是先积分后求导(微分)还是先求导(微分)后积分。
2.函数的原函数是.应该填写:
-cos2x+c
3.若存在且连续,则.应该填写:
注意:
本题是先微分再积分最后在求导。
4.若,则 .应该填写:
5.若,则=.应该填写:
注意:
6. .应该填写:
0
注意:
定积分的结果是“数值”,而常数的导数为0
7.积分.应该填写:
0
注意:
奇函数在对称区间的定积分为0
8.无穷积分是.应该填写:
收敛的
三、计算题(以下的计算题要熟练掌握!
这是考试的10分类型题)
1.解:
==
2.计算解:
3.计算解:
4.计算解:
5.计算
解:
==
6.计算解:
=
7.解:
===
8.解:
=-==
9.解:
====1
注意:
熟练解答以上各题要注意以下两点
(1)常见凑微分类型一定要记住
(2)分部积分:
,常考的有三种类型要清楚。
四、应用题(以下的应用题必须熟练掌握!
这是考试的20分类型题)
1.投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为=2x+40(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低.
解:
当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为
==100(万元)
又==
令,解得.x=6是惟一的驻点,而该问题确实存在使平均成本达到最小的值。
所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.
2.已知某产品的边际成本(x)=2(元/件),固定成本为0,边际收益(x)=12-0.02x,问产量为多少时利润最大?
在最大利润产量的基础上再生产50件,利润将会发生什么变化?
解:
因为边际利润=12-0.02x–2=10-0.02x
令=0,得x=500;x=500是惟一驻点,而该问题确实存在最大值.
所以,当产量为500件时,利润最大.
当产量由500件增加至550件时,利润改变量为
=500-525=-25(元)
即利润将减少25元.
3.生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台),边际收入为(x)=100-2x(万元/百台),其中x为产量,问产量为多少时,利润最大?
从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?
解:
(x)=(x)-(x)=(100–2x)–8x=100–10x
令(x)=0,得x=10(百台);又x=10是L(x)的唯一驻点,该问题确实存在最大值,
故x=10是L(x)的最大值点,即当产量为10(百台)时,利润最大.
又△
即从利润最大时的产量再生产2百台,利润将减少20万元.
4.已知某产品的边际成本为(万元/百台),为产量(百台),固定成本为18(万元),求最低平均成本.
解:
因为总成本函数为=
当=0时,C(0)=18,得c=18;即C()=
又平均成本函数为
令,解得=3(百台),该题确实存在使平均成本最低的产量.
所以当q=3时,平均成本最低.最底平均成本为(万元/百台)
5.设生产某产品的总成本函数为(万元),其中x为产量,单位:
百吨.销售x吨时的边际收入为(万元/百吨),求:
(1)利润最大时的产量;
(2)在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨,利润会发生什么变化?
解:
(1)因为边际成本为,边际利润=14–2x
令,得x=7;由该题实际意义可知,x=7为利润函数L(x)的极大值点,也是最大值点.因此,当产量为7百吨时利润最大.
(2)当产量由7百吨增加至8百吨时,利润改变量为=-1(万元)
即利润将减少1万元.
线性代数部分考核要求与综合练习题
第2章矩阵
1.了解或理解一些基本概念
(1)了解矩阵和矩阵相等的概念;
(2)了解单位矩阵、数量矩阵和对称矩阵的定义和性质;
(3)理解矩阵可逆与逆矩阵概念,知道矩阵可逆的条件;
(4)理解矩阵初等行变换的概念。
2.熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算,掌握这几种运算的有关性质;
3.熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵,解矩阵方程。
第3章线性方程组
1.了解线性方程组的有关概念:
n元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解。
2.理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理;熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。
3.熟练掌握线性方程组解得情况判定定理
线性代数部分综合练习题
一、单项选择题
1.设A为矩阵,B为矩阵,则下列运算中()可以进行.
正确答案:
A
A.ABB.ABTC.A+BD.BAT
2.设为同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是()正确答案:
B
A. B.
C.D.
注意:
转置矩阵、逆矩阵的性质要记住
3.以下结论或等式正确的是().正确答案:
C
A.若均为零矩阵,则有B.若,且,则
C.对角矩阵是对称矩阵D.若,则
4.设是可逆矩阵,且,则( ).正确答案:
C
A. B. C. D.
注意:
因为A(I+B)=I,所以I+B
5.设,,是单位矩阵,则=().
正确答案:
D
A.B.C.D.
6.设,则r(A)=().正确答案:
C
A.4B.3C.2D.1
7.设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为,则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为()正确答案:
A
A.1B.2C.3D.4
8.线性方程组解的情况是( ).正确答案:
A
A.无解 B.只有0解 C.有唯一解 D.有无穷多解
9.设线性方程组有无穷多解的充分必要条件是().
正确答案:
D
A.B.C.D.
10.设线性方程组有唯一解,则相应的齐次方程组().
A.无解B.有非零解C.只有零解D.解不能确定
正确答案:
C
二、填空题
1.若矩阵A=,B=,则ATB=.应该填写:
2.设均为阶矩阵,则等式成立的充分必要条件是.应该填写:
是可交换矩阵
3.设,当 时,是对称矩阵.应该填写:
0
4.设均为阶矩阵,且可逆,则矩阵的解X=.
应该填写:
5.若线性方程组有非零解,则.应该填写:
-1
6.设齐次线性方程组,且秩(A)=r n–r 7.齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为. 应该填写: (其中是自由未知量) 三、计算题(以下的各题要熟练掌握! 这是考试的15分类型题) 1.设矩阵A=,求逆矩阵. 解:
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