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成人高考专升本高等数学成考笔记14页文档资料
第一章极限和连续
第一节极限
[复习考试要求]
1.了解极限的概念(对极限定义等形式的描述不作要求)。
会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质,掌握极限的四则运算法则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。
会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
[主要知识内容]
(一)数列的极限
1.数列
定义按一定顺序排列的无穷多个数
称为无穷数列,简称数列,记作{xn},数列中每一个数称为数列的项,第n项xn为数列的一般项或通项,例如
(1)1,3,5,…,(2n-1),…(等差数列)
(2)(等比数列)
(3)(递增数列)
(4)1,0,1,0,…,…(震荡数列)
都是数列。
它们的一般项分别为
(2n-1),。
对于每一个正整数n,都有一个xn与之对应,所以说数列{xn}可看作自变量n的函数xn=f(n),它的定义域是全体正整数,当自变量n依次取1,2,3…一切正整数时,对应的函数值就排列成数列。
在几何上,数列{xn}可看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...xn,…。
2.数列的极限
定义对于数列{xn},如果当n→∞时,xn无限地趋于一个确定的常数A,则称当n趋于无穷大时,数列{xn}以常数A为极限,或称数列收敛于A,记作
比如:
无限的趋向0
,无限的趋向1
否则,对于数列{xn},如果当n→∞时,xn不是无限地趋于一个确定的常数,称数列{xn}没有极限,如果数列没有极限,就称数列是发散的。
比如:
1,3,5,…,(2n-1),…
1,0,1,0,…
数列极限的几何意义:
将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示,若数列{xn}以A为极限,就表示当n趋于无穷大时,点xn可以无限靠近点A,即点xn与点A之间的距离|xn-A|趋于0。
比如:
无限的趋向0
无限的趋向1
(二)数列极限的性质与运算法则
1.数列极限的性质
定理1.1(惟一性)若数列{xn}收敛,则其极限值必定惟一。
定理1.2(有界性)若数列{xn}收敛,则它必定有界。
注意:
这个定理反过来不成立,也就是说,有界数列不一定收敛。
比如:
1,0,1,0,…有界:
0,1
2.数列极限的存在准则
定理1.3(两面夹准则)若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件:
(1),
(2),则
定理1.4若数列{xn}单调有界,则它必有极限。
3.数列极限的四则运算定理。
定理1.5
(1)
(2)
(3)当时,
(三)函数极限的概念
1.当x→x0时函数f(x)的极限
(1)当x→x0时f(x)的极限
定义对于函数y=f(x),如果当x无限地趋于x0时,函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→x0时,函数f(x)的极限是A,记作
或f(x)→A(当x→x0时)
例y=f(x)=2x+1
x→1,f(x)→?
x<1x→1
x>1x→1
(2)左极限
当x→x0时f(x)的左极限
定义对于函数y=f(x),如果当x从x0的左边无限地趋于x0时,函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→x0时,函数f(x)的左极限是A,记作
或f(x0-0)=A
(3)右极限
当x→x0时,f(x)的右极限
定义对于函数y=f(x),如果当x从x0的右边无限地趋于x0时,函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→x0时,函数f(x)的右极限是A,记作
或f(x0+0)=A
例子:
分段函数
,求,
解:
当x从0的左边无限地趋于0时f(x)无限地趋于一个常数1。
我们称当x→0时,f(x)的左极限是1,即有
当x从0的右边无限地趋于0时,f(x)无限地趋于一个常数-1。
我们称当x→0时,f(x)的右极限是-1,即有
显然,函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系:
定理1.6当x→x0时,函数f(x)的极限等于A的必要充分条件是
反之,如果左、右极限都等于A,则必有。
x→1时f(x)→?
x≠1
x→1f(x)→2
对于函数,当x→1时,f(x)的左极限是2,右极限也是2。
2.当x→∞时,函数f(x)的极限
(1)当x→∞时,函数f(x)的极限
y=f(x)x→∞f(x)→?
y=f(x)=1+
x→∞f(x)=1+→1
定义对于函数y=f(x),如果当x→∞时,f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→∞时,函数f(x)的极限是A,记作
或f(x)→A(当x→∞时)
(2)当x→+∞时,函数f(x)的极限
定义对于函数y=f(x),如果当x→+∞时,f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→+∞时,函数f(x)的极限是A,记作
这个定义与数列极限的定义基本上一样,数列极限的定义中n→+∞的n是正整数;而在这个定义中,则要明确写出x→+∞,且其中的x不一定是正整数,而为任意实数。
y=f(x)x→+∞f(x)x→?
x→+∞,f(x)=2+→2
例:
函数f(x)=2+e-x,当x→+∞时,f(x)→?
解:
f(x)=2+e-x=2+,
x→+∞,f(x)=2+→2
所以
(3)当x→-∞时,函数f(x)的极限
定义对于函数y=f(x),如果当x→-∞时,f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→-∞时,f(x)的极限是A,记作
x→-∞f(x)→?
则f(x)=2+(x<0)
x→-∞,-x→+∞
f(x)=2+→2
例:
函数,当x→-∞时,f(x)→?
解:
当x→-∞时,-x→+∞
→2,即有
由上述x→∞,x→+∞,x→-∞时,函数f(x)极限的定义,不难看出:
x→∞时f(x)的极限是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时,函数f(x)有相同的极限A。
例如函数,当x→-∞时,f(x)无限地趋于常数1,当x→+∞时,f(x)也无限地趋于同一个常数1,因此称当x→∞时的极限是1,记作
其几何意义如图3所示。
f(x)=1+
y=arctanx
不存在。
但是对函数y=arctanx来讲,因为有
即虽然当x→-∞时,f(x)的极限存在,当x→+∞时,f(x)的极限也存在,但这两个极限不相同,我们只能说,当x→∞时,y=arctanx的极限不存在。
x)=1+
y=arctanx
不存在。
但是对函数y=arctanx来讲,因为有
即虽然当x→-∞时,f(x)的极限存在,当x→+∞时,f(x)的极限也存在,但这两个极限不相同,我们只能说,当x→∞时,y=arctanx的极限不存在。
(四)函数极限的定理
定理1.7(惟一性定理)如果存在,则极限值必定惟一。
定理1.8(两面夹定理)设函数在点的某个邻域内(可除外)满足条件:
(1),
(2)
则有。
注意:
上述定理1.7及定理1.8对也成立。
下面我们给出函数极限的四则运算定理
定理1.9如果则
(1)
(2)
(3)当时,时,
上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形,有以下推论:
(1)
(2)
(3)
用极限的运算法则求极限时,必须注意:
这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在,且求商的极限时,还要求分母的极限不能为零。
另外,上述极限的运算法则对于的情形也都成立。
(五)无穷小量和无穷大量
1.无穷小量(简称无穷小)
定义对于函数,如果自变量x在某个变化过程中,函数的极限为零,则称在该变化过程中,为无穷小量,一般记作
常用希腊字母,…来表示无穷小量。
定理1.10函数以A为极限的必要充分条件是:
可表示为A与一个无穷小量之和。
注意:
(1)无穷小量是变量,它不是表示量的大小,而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。
(2)要把无穷小量与很小的数严格区分开,一个很小的数,无论它多么小也不是无穷小量。
(3)一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。
在不同的变化过程中,同一个变量可以有不同的变化趋势,因此结论也不尽相同。
例如:
振荡型发散
(4)越变越小的变量也不一定是无穷小量,例如当x越变越大时,就越变越小,但它不是无穷小量。
(5)无穷小量不是一个常数,但数“0”是无穷小量中惟一的一个数,这是因为。
2.无穷大量(简称无穷大)
定义;如果当自变量(或∞)时,的绝对值可以变得充分大(也即无限地增大),则称在该变化过程中,为无穷大量。
记作。
注意:
无穷大(∞)不是一个数值,“∞”是一个记号,绝不能写成或。
3.无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系,见以下的定理。
定理1.11在同一变化过程中,如果为无穷大量,则为无穷小量;反之,如果为无穷小量,且,则为无穷大量。
当无穷大
无穷小
当为无穷小
无穷大
4.无穷小量的基本性质
性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量;
性质2有界函数(变量)与无穷小量的乘积是无穷小量;特别地,常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。
5.无穷小量的比较
定义设是同一变化过程中的无穷小量,即。
(1)如果则称是比较高阶的无穷小量,记作;
(2)如果则称与为同阶的无穷小量;
(3)如果则称与为等价无穷小量,记为;
(4)如果则称是比较低价的无穷小量。
当
等价无穷小量代换定理:
如果当时,均为无穷小量,又有且存在,则。
均为无穷小
又有
这个性质常常使用在极限运算中,它能起到简化运算的作用。
但是必须注意:
等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。
常用的等价无穷小量代换有:
当时,
sinx~x;tan~x;arctanx~x;arcsinx~x;
(六)两个重要极限
1.重要极限Ⅰ
重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式
令
这个公式很重要,应用它可以计算三角函数的型的极限问题。
其结构式为:
2.重要极限Ⅱ
重要极限Ⅱ是指下面的公式:
其中e是个常数(银行家常数),叫自然对数的底,它的值为
e=2.718281828495045……
其结构式为:
重要极限Ⅰ是属于型的未定型式,重要极限Ⅱ是属于“”型的未定式时,这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用,熟练掌握它们是非常必要的。
(七)求极限的方法:
1.利用极限的四则运算法则求极限;
2.利用两个重要极限求极限;
3.利用无穷小量的性质求极限;
4.利用函数的连续性求极限;
5.利用洛必达法则求未定式的极限;
6.利用等价无穷小代换定理求极限。
基本极限公式
(2)
(3)
(4)
例1.无穷小量的有关概念
(1)[9601]下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是
A.B.
C.D.[答]C
A.发散
D.
(2)[0202]当时,与x比较是
A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量
C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量
[答]B
解:
当,与x是
极限的运算:
[0611]
解:
[答案]-1
例2.型因式分解约分求极限
(1)[0208][答]
解:
(2)[0621]计算[答]
解:
例3.型有理化约分求极限
(1)[0316]计算[答]
解:
(2)[9516][答]
解:
例4.当时求型的极限[答]
(1)[0308]
一般地,有
例5.用重要极限Ⅰ求极限
(1)[9603]下列极限中,成立的是
A.B.
C.D.[答]B
(2)[0006][答]
解:
例6.用重要极限Ⅱ求极限
(1)[0416]计算[答]
[解析]解一:
令
解二:
[0306]
[0601]
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