点线面间的距离计算高考真题教师版.docx
- 文档编号:1282224
- 上传时间:2022-10-20
- 格式:DOCX
- 页数:46
- 大小:121.88KB
点线面间的距离计算高考真题教师版.docx
《点线面间的距离计算高考真题教师版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《点线面间的距离计算高考真题教师版.docx(46页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
点线面间的距离计算高考真题教师版
点、线、面间的距离计算
一.选择题(共3小题)
1.(2014•全国)有一块草地为菱形,在菱形的对角线交点处有一根垂直于草地的旗杆,若该菱形面积为,周长为,旗杆高,则旗杆顶端到菱形边的最短距离为
A.B.C.D.
2.(2013•北京)如图,在正方体中,为对角线的三等分点,到各顶点的距离的不同取值有
A.3个B.4个C.5个D.6个
3.(2011•重庆)高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形,点,,,,均在半径为1的同一球面上,则底面的中心与顶点之间的距离为
A.B.C.1D.
二.填空题(共2小题)
4.(2020•山东)已知直四棱柱的棱长均为2,.以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为 .
5.(2013•北京)如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,点在线段上,点到直线的距离的最小值为 .
三.解答题(共6小题)
6.(2015•广东)如图,三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直,,,.
(1)证明:
平面;
(2)证明:
;
(3)求点到平面的距离.
7.(2013•上海)如图,在长方体中,,,.证明直线平行于平面,并求直线到平面的距离.
8.(2013•江西)如图,直四棱柱中,,,,,,为上一点,,
(1)证明:
平面;
(2)求点到平面的距离.
9.(2010•广东)如图,弧是半径为的半圆,为直径,点为弧的中点,点和点为线段的三等分点,平面外一点满足平面,.
(1)证明:
;
(2)求点到平面的距离.
10.(2010•江苏)如图,在四棱锥中,平面,,,,.
(1)求证:
;
(2)求点到平面的距离.
11.(2010•重庆)如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,点是棱的中点.
(1)求直线与平面的距离;
(2)若,求二面角的平面角的余弦值.
点、线、面间的距离计算
参考答案与试题解析
一.选择题(共3小题)
1.(2014•全国)有一块草地为菱形,在菱形的对角线交点处有一根垂直于草地的旗杆,若该菱形面积为,周长为,旗杆高,则旗杆顶端到菱形边的最短距离为
A.B.C.D.
【解答】解:
菱形的对角线交点处有一根垂直于草地的旗杆,若该菱形面积为,周长为,可得,,
过作,连结,
,
可得.
.
故选:
.
2.(2013•北京)如图,在正方体中,为对角线的三等分点,到各顶点的距离的不同取值有
A.3个B.4个C.5个D.6个
【解答】解:
建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长,
则,0,,,3,,,3,,,0,,,0,,,3,,,3,,,0,,
,,,
设,,,
,,,
,2,.
,
,
,
.
故到各顶点的距离的不同取值有,3,,共4个.
故选:
.
3.(2011•重庆)高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形,点,,,,均在半径为1的同一球面上,则底面的中心与顶点之间的距离为
A.B.C.1D.
【解答】解:
由题意可知所在的圆是小圆,对角线长为,四棱锥的高为,
点,,,,均在半径为1的同一球面上,球心到小圆圆心的距离为,顶点在球心距的垂直分的平面上,而顶点到球心的距离为1,所以底面的中心与顶点之间的距离为1
故选:
.
二.填空题(共2小题)
4.(2020•山东)已知直四棱柱的棱长均为2,.以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为 .
【解答】解:
由题意直四棱柱的棱长均为2,.可知:
,上下底面是菱形,建立如图所示的平面直角坐标系,设,则.
由题意可知.
可得:
.
即,
所以在侧面的轨迹是以的中点为圆心,半径为的圆弧.
以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为:
.
故答案为:
.
5.(2013•北京)如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,点在线段上,点到直线的距离的最小值为 .
【解答】解:
如图所示,取的中点,连接,,
,
又平面,平面,
平面.
直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离.
过点作,
平面平面.
平面.
过点作交于点,则.
取,连接,则四边形是矩形.
可得平面,
在△中,,得.
点到直线的距离的最小值为.
故答案为
三.解答题(共6小题)
6.(2015•广东)如图,三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直,,,.
(1)证明:
平面;
(2)证明:
;
(3)求点到平面的距离.
【解答】
(1)证明:
因为四边形是长方形,所以,
因为平面,平面,所以平面;
(2)证明:
因为四边形是长方形,所以,
因为平面平面,平面平面,面,
所以平面,
因为平面,
所以;
(3)解:
取的中点,连接和,
因为,所以,
在中,.
因为平面平面,平面平面,平面,
所以平面.
由
(2)知:
平面,
由
(1)知:
,
所以平面,
因为平面,所以.
设点到平面的距离为.
因为,
所以,
所以,
所以点到平面的距离是.
7.(2013•上海)如图,在长方体中,,,.证明直线平行于平面,并求直线到平面的距离.
【解答】解:
解法一:
因为为长方体,故,,
故为平行四边形,故,显然不在平面内,
于是直线平行于平面.
直线到平面的距离即为点到平面的距离,设为,
考虑三棱锥的体积,以为底面,可得三棱锥的体积为,
而△中,,,故的底边上的高为,
故的面积,
所以,,即直线到平面的距离为.
解法二:
以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,
建立空间直角坐标系.
则由题意可得,点,0,1、,2,、,2,、,2,、,0,.
设平面的一个法向量为,,,则由,,可得,.
,0,,,2,,,解得.
令,可得,,可得,1,.
由于,0,,,故有.
再由不在平面内,可得直线平行于平面.
由于,0,,可得点到平面的距离,
故直线到平面的距离为.
8.(2013•江西)如图,直四棱柱中,,,,,,为上一点,,
(1)证明:
平面;
(2)求点到平面的距离.
【解答】解:
(1)过点作于点,则:
,,
在中,;
在中,
因此,中可得
,可得,
平面,平面,
,
又、是平面内的相交直线,
平面;
(2)平面,得是三棱锥的高线
三棱锥的体积
在△中,
同理可得,
等腰△的底边上的中线等于,
可得
设点到平面的距离为,则三棱锥的体积为,
可得,解之得
即点到平面的距离为.
9.(2010•广东)如图,弧是半径为的半圆,为直径,点为弧的中点,点和点为线段的三等分点,平面外一点满足平面,.
(1)证明:
;
(2)求点到平面的距离.
【解答】解:
(1)证明:
点为弧的中点
,即
又平面,平面
又、平面,
平面而平面
(2)
在中,
而
由等体积法可知:
解得:
即点到平面的距离为
10.(2010•江苏)如图,在四棱锥中,平面,,,,.
(1)求证:
;
(2)求点到平面的距离.
【解答】解:
(1)证明:
因为平面,平面,所以.
由,得,
又,、平面,
所以平面.
因为平面,故.
(2)(方法一)分别取、的中点、,连、,则:
易证,平面,点、到平面的距离相等.
又点到平面的距离等于到平面的距离的2倍.
由
(1)知:
平面,所以平面平面于,
因为,,所以,所以平面于.
易知,故点到平面的距离等于.
(方法二)等体积法:
连接.设点到平面的距离为.
因为,,所以.
从而,,得的面积.
由平面及,得三棱锥的体积.
因为平面,平面,所以.
又,所以.
由,,得的面积.
由,,得,
故点到平面的距离等于.
11.(2010•重庆)如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,点是棱的中点.
(1)求直线与平面的距离;
(2)若,求二面角的平面角的余弦值.
【解答】解:
(1)在矩形中,,从而平面,故直线与平面的距离为点到平面的距离,
因底面,故,知为等腰直角三角形,
又点是棱的中点,故,又在矩形中,,而是的底面内的射影,
由三垂线定理得,从而平面,故,从而平面,
故之长即为直线与平面的距离,
在中,,
所以
(2)过点作于,过点做,交于,则为所求的二面角的平面角.
由
(1)知平面,又,得平面,
故,从而
在中,,由,
所以为等边三角形,故为的中点,且
因为平面,故,又,知.且,
从而,且点为的中点,连接,则在中,,
所以
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 点线 距离 计算 高考 教师版