6第六章微分方程.docx
- 文档编号:12898121
- 上传时间:2023-04-22
- 格式:DOCX
- 页数:4
- 大小:45.51KB
6第六章微分方程.docx
《6第六章微分方程.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《6第六章微分方程.docx(4页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
6第六章微分方程
第六章微分方程
【考试内容】
一、微分方程的基本概念
一般地,凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程,有时也简称为方程.未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程.
方程中未知函数导数的最高阶数,称为该微分方程的阶.
如果函数
满足一个微分方程,则称它是该微分方程的解.
如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同时,这样的解叫做微分方程的通解.
当自变量取某值时,要求未知函数及其导数取给定值,这种条件称为初始条件.
满足给定初始条件的解,称为微分方程满足该初始条件的特解.
二、可分离变量的微分方程
一般地,如果一个一阶微分方程能写成
的形式,也就是说,能把微分方程写成一端只含
的函数和
,另一端只含
的函数和
,那么原方程就称为可分离变量的微分方程.此方程两端同时积分,方程左端对变量
积分,方程右端对变量
积分,即
,
便可求出其通解.
三、一阶线性微分方程
形如
或
的方程称为一阶线性微分方程.“线性”是指在方程中含有未知函数
和它的导数
的项都是关于
、
的一次项,而
称为自由项.
1.一阶齐次线性微分方程
当自由项
时,
称为一阶齐次线性微分方程.它的通解为
.
说明:
在式
中,求解
时只需求出一个原函数即可.
2.一阶非齐次线性微分方程
当自由项
不恒为零时,
称为一阶非齐次线性微分方程.它的通解为
.
说明:
求解
时也只需求出一个原函数即可.
四、二阶常系数线性微分方程
1.二阶常系数线性微分方程解的结构
形如
的二阶微分方程,由于方程中未知函数
及其各阶导数都以一次(线性)形式出现,故称为二阶常系数线性微分方程.其中
、
为常数,
是自变量
的函数.
当
时,方程
称为二阶常系数齐次线性微分方程.
定理1若
、
是齐次线性方程
的两个解,则
也是它的解,且当
与
线性无关时,
是其通解.
定理2若
为非齐次线性方程
的某个特解,
为对应的齐次线性方程的通解,则
为非齐次线性方程的通解.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第六 微分方程