高等代数习题.docx
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高等代数习题
第五章二次型
1.写出以下二次型的矩阵或以为矩阵的二次型:
1);
2);
3).
2.写出以下二次型
的矩阵.
3.设为数域上的阶方阵,,那么是数域上的一个元二次型.讨论该二次型的矩阵与的关系.
4.设.证明:
是反对称矩阵的充要条件是,均有.
5.设且是对称矩阵,证明:
假设,有,那么.
6.设为阶非零对称矩阵,证明存在维非零列向量,使
7.设是复数域上n阶对称矩阵,证明,存在复数域上一个矩阵A,使得
S=AA.
8.用非退化线性变换把以下二次型化成标准形:
1)
2)
9.设矩阵,求一可逆矩阵,使为对角矩阵。
10.证明:
一个元实二次型能够分解成两个实系数一次齐次式的充要条件是的秩等于2而符号差为0,或的秩等于1
11.判定以下实二次型是不是正定:
1);
2),其中为元素全为1的阶矩阵;
3);
12.确信的取值,使以下二次型正定:
1);
2).
13.设阶实对称矩阵,证明正定的必要条件是.并举例说明那个条件不是正定的充要条件.
14.设,给出实二次型
正定的充要条件.
15.设.证明:
正定的充要条件是齐次线性方程组只有零解.
16.设均为正定矩阵,.证明正定.
17.证明;阶实对称矩阵正定的充要条件是的所有主子式均大于0.
18.用可逆线性替换将二次型化为标准形.写出所用的线性变换及变换矩阵,并求出的正惯性指数与符号差.
19.设.矩阵其中为实数,I为单位矩阵.求对角矩阵,使B与相似,并求为何值时,B为正定矩阵.
20.A为实对称矩阵,B为对称正定矩阵,证明:
存在可逆矩阵T,使
为对角形,.
21.设A为实对称矩阵,且
(1)求A的特点值;
(2)证明A为正定矩阵.
第六章线性空间
1.判定下面集合关于所给定的运算是不是是向量空间:
1)数域上次数等于的多项式的全部,关于多项式加法和数与多项式的乘法;
2)平面上向量的全部,关于向量加法和如下概念的数量乘法:
;
3)数域上阶对称(反对称,上三角)矩阵的全部,关于矩阵的加法和数量乘法;
4)数域上元对称多项式的全部,关于多项式的加法和数与多项式的乘法;
5)(C,R,+,o),其中+是复数的加法,o是:
R×C→C,;
6)设是数域,关于数的加法和乘法.
2.设是线性空间,那么以下算律成立:
1);
2)
3.设是线性空间,若V中有一个非零向量,则V必然有无穷多个向量.
4.设V=,R为实数域,概念运算:
=
试证:
()是线性空间.
5.按通常实数域上三维响亮的加法和乘法运算,以下三维向量的集合是不是是上的线性空间?
并说明其几何意义
1)
2)
3)
4)
6.判定以下子集哪些是的子空间:
1);
2);
3).
7.求以下生成子空间的一个基和维数:
1);
2),其中
.
1)全部与可互换的矩阵的集合记为.证明:
是子空间.
2)当时,求.
3)当时,求的一个基和维数.
9.在数域上的向量空间中,若是
证明:
.
10.设是维线性空间中的个向量,中每一个向量都可由它们线性表示,求证:
是的一个基。
11.令F[x]表示数域F上一且次数≤n的多项式连同零多项式所组成的向量空间,那个向量空间的维数是几?
以下向量组是不是F[x]的基:
⑴{x};
⑵{}.
12.证明:
若是,,是线性空间中三个互素的多项式,但其中任意两个都不互素,那么它们线性无关.
13.求以下线性空间的一个基和维数:
1)中全部对称矩阵组成的数域F上的线性空间;
2)中全部反对称矩阵组成的数域F上的线性空间.
3)实数域R上由矩阵A的全部实系数多项式组成的线性空间,其中
,
14.证明:
假设是数域F上线性空间V的基,那么对任意,,也是V的一个基.从而V有无数多个基.
15.证明,是(数域F上一且次数≤3的多项式及零的一个基,求以下多项式关于那个基的坐标:
⑴;⑵;⑶4;⑷.
16.设是数域上的维线性空间的基.求由到以下给定基的过渡矩阵:
1);
2),.
中,求由基到基的过渡矩阵,并求向量在指定基下的坐标:
1)
在下的坐标.
2)
在下的坐标.
18.设是数域上的维线性空间的基,试问,,┅,,是不是为V的一个基?
为什么?
19.设是数域上的向量空间到的双射.证明:
是同构映射的充要条件是,,均有
20.数域上的向量空间与同构,并给出一个同构映射.
21.证明:
数域上的向量空间F与同构,并给出一个同构映射.
22.设数域上的线性空间的向量组
,,
求的一个基和维数.
,,,试求的一个基并定其维数.
24.假设以表示实系数多项式,试证
是实数域上的线性空间,并求出它的一组基和维数
第七章线性变换
1.判定以下变换是不是是指定向量空间的线性变换,并说明理由:
1)在向量空间中,,其中是中某一固定向量;
2)在中,;
3)在中,;
4)在中,;
5)在中,,其中是中一个固定的数;
6)在中,;
7)在中,;
8)在向量空间中,,其中是中某一固定向量.
中概念,问是不是的线性变换?
3.设,且,,.证明:
4.设为线性空间的一组基,为的两个线性变换,若是
证明:
5.设.假设.证明:
对任意整数,有
6.设为数域上的维向量空间的基,.证明:
可逆的充要条件是也是的基.
7.在向量空间中,设
,,
,,
是的两个基,(),使
,
1)到基的过渡矩阵;
2)在基下的矩阵;
3)求基下的矩阵;
4)设,别离求在基与下的坐标.
8.设三维向量空间V的线性变换在基下的矩阵是
1)求在基下的矩阵;
2)求在基下的矩阵,其中;
3)求在基下的矩阵.
9.在向量空间中,概念线性变换
=
=
=
求在基下的矩阵.
10.在中,求在基下的矩阵为
的线性变换.
11.在维向量空间V中,,存在向量,使得,但.证明:
V中存在一个基,使得在那个基下的矩阵是
12.设.证明:
13.设可逆,证明:
.
14.在向量空间中,设
,,
证明:
A,B,C彼此此相似.
15.证明:
线性变换的不变子空间的交仍然是子空间.
16.证明:
线性变换的不变子空间的和仍然是子空间.
17.求以下矩阵在实数域上的全数的特点值和全数的特点向量.
1)2)
3)4)
18.求复数域上线性空间V的线性变换的全数特点值与全数特点向量.已知在V的一个基下的矩阵为
1)2)
3)3).
19.设是线性空间V的可逆的线性变换
1)证明:
的特点值必然不为零.
2)证明:
若是是的特点值,那么是的特点值,是的特点值,对.
20.设是上的线性变换,假设,求。
21.已知:
,;:
,,求,和
22.问取何值时,与相似。
23.阶方阵A知足,计算的特点值.
24.设与相似.
(1)求的值;
(2)求可逆矩阵,使.
25.中,线性变换关于基,,的矩阵为
(1)求关于标准基的矩阵;
(2)设,,求关于基的坐标.
26.设是的线性变换,
(1)求的一个基和维数;
(2)求的一个基和维数.
27.设A是阶矩阵,且有,,证明:
-1是A的特点值.
28.设是V上的两个线性变换,证明:
(1)的充要条件是;
(2)的充要条件是.
第九章欧几里得空间
1.在中,关于标准内积..求的夹角.
2.设是欧氏空间,.证明:
1);
2).
3.在线性空间中,关于任意的向量,概念
证明:
是的内积.
4.设是一个阶实可逆矩阵.在中,关于任意两个列向量,概念
证明:
是的内积.
5.设是标准内积下欧氏空间上的线性变换,使,.证明:
,
6.设是维欧氏空间的一个向量组.证明:
的气宇矩阵可逆当且仅当线性无关.
7.设是3维欧氏空间的一个标准正交基.证明:
是的标准正交基.
8.将的基
,,,
化成标准正交基.
9.设,求由向量组
生成的子空间的一组标准正交基。
10.3维欧氏空间的基的气宇矩阵为
求的一个标准正交基.
11.设是维欧氏空间的基.证明:
是的标准正交基的充要条件是,均有.
12.设是4维欧氏空间的标准正交基.将的基
,,,
化成的标准正交基
13.在中,找两个单位向量,使它们同时与向量
中每一个正交。
14.对以下实对称矩阵,求正交矩阵,使为对角形矩阵.
1);
2);
3).
15.设是维欧氏空间上的对称变换,且.证明:
存在的一个标准正交基,使在下的矩阵为阶对角形矩阵
其中为的秩.
16.证明:
实对称矩阵正定的充要条件是的特点值均大于零.
17.设是正定矩阵.证明:
存在正定矩阵,使.
18.设是正定矩阵.证明:
对任意的自然数,和的伴随矩阵均为正定矩阵.
19.设是有限维实线性空间,并已概念内积,当是的子空间时,试证:
1)当与中任一矢量都正交的矢量全部组成的集合为时,那么为的子空间。
2);
3);
4)
20.求一正交变换化二次型成标准形。
21.设是线性空间的一个线性变换,试证:
(1)是满射;
(2)是单射。
22.设是维向量空间的一个线性变换,试证:
以下三个条件等价:
(1)可逆;
(2)是单射;
(3)是满射。
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