电大高等数学基础期末考试复习试题及答案.docx
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电大高等数学基础期末考试复习试题及答案
RevisedbyBETTYonDecember25,2020
电大高等数学基础期末考试复习试题及答案
高等数学
(1)学习辅导
(一)
第一章函数
⒈理解函数的概念;掌握函数中符号f()的含义;了解函数的两要素;会求函数的定义域及函数值;会判断两个函数是否相等。
两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。
⒉了解函数的主要性质,即单调性、奇偶性、有界性和周期性。
若对任意,有,则称为偶函数,偶函数的图形关于轴对称。
若对任意,有,则称为奇函数,奇函数的图形关于原点对称。
掌握奇偶函数的判别方法。
掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。
⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。
基本初等函数是指以下几种类型:
1常数函数:
2幂函数:
3指数函数:
4对数函数:
5三角函数:
6反三角函数:
⒋了解复合函数、初等函数的概念,会把一个复合函数分解成较简单的函数。
如函数
可以分解,,,。
分解后的函数前三个都是基本初等函数,而第四个函数是常数函数和幂函数的和。
⒌会列简单的应用问题的函数关系式。
例题选解
一、填空题
⒈设,则 。
解:
设,则,得
故。
⒉函数的定义域是 。
解:
对函数的第一项,要求且,即且;对函数的第二项,要求,即。
取公共部分,得函数定义域为。
⒊函数的定义域为,则的定义域是 。
解:
要使有意义,必须使,由此得定义域为。
⒋函数的定义域为。
解:
要使有意义,必须满足且,即成立,解不等式方程组,得出,故得出函数的定义域为。
⒌设,则函数的图形关于 对称。
解:
的定义域为,且有
即是偶函数,故图形关于轴对称。
二、单项选择题
⒈下列各对函数中,( )是相同的。
A.; B.;
C.; D.
解:
A中两函数的对应关系不同,,B,D三个选项中的每对函数的定义域都不同,所以AB,D都不是正确的选项;而选项C中的函数定义域相等,且对应关系相同,故选项C正确。
⒉设函数的定义域为,则函数的图形关于( )对称。
=x; 轴; 轴; D.坐标原点
解:
设,则对任意有
即是奇函数,故图形关于原点对称。
选项D正确。
3.设函数的定义域是全体实数,则函数是( ).
A.单调减函数; B.有界函数;
C.偶函数; D.周期函数
解:
A,B,D三个选项都不一定满足。
设,则对任意有
即是偶函数,故选项C正确。
⒋函数()
A.是奇函数; B.是偶函数;
C.既奇函数又是偶函数; D.是非奇非偶函数。
解:
利用奇偶函数的定义进行验证。
所以B正确。
⒌若函数,则()
A.; B.;
C.; D.。
解:
因为
所以
则,故选项B正确。
第二章极限与连续
⒈知道数列极限的“”定义;了解函数极限的描述性定义。
⒉理解无穷小量的概念;了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系;知道无穷小量的比较。
无穷小量的运算性质主要有:
1有限个无穷小量的代数和是无穷小量;
2有限个无穷小量的乘积是无穷小量;
3无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。
⒊熟练掌握极限的计算方法:
包括极限的四则运算法则,消去极限式中的不定因子,利用无穷小量的运算性质,有理化根式,两个重要极限,函数的连续性等方法。
求极限有几种典型的类型
(1)
(2)
(3)
⒋熟练掌握两个重要极限:
(或)
重要极限的一般形式:
(或)
利用两个重要极限求极限,往往需要作适当的变换,将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式,再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则,如
⒌理解函数连续性的定义;会判断函数在一点的连续性;会求函数的连续区间;了解函数间断点的概念;会对函数的间断点进行分类。
间断点的分类:
已知点是的间断点,
若在点的左、右极限都存在,则称为的第一类间断点;
若在点的左、右极限有一个不存在,则称为的第二类间断点。
⒍理解连续函数的和、差、积、商(分母不为0)及复合仍是连续函数,初等函数在其定义域内连续的结论,知道闭区间上连续函数的几个结论。
典型例题解析
一、填空题
⒈极限 。
解:
注意:
(无穷小量乘以有界变量等于无穷小量)
,其中=1是第一个重要极限。
⒉函数的间断点是 。
解:
由是分段函数,是的分段点,考虑函数在处的连续性。
因为
所以函数在处是间断的,
又在和都是连续的,故函数的间断点是。
⒊⒋⒌⒍设,则 。
解:
,故
⒎函数的单调增加区间是 。
二、单项选择题
⒈函数在点处( ).
A.有定义且有极限; B.无定义但有极限;
C.有定义但无极限; D.无定义且无极限
解:
在点处没有定义,但
(无穷小量有界变量=无穷小量)
故选项B正确。
⒉下列函数在指定的变化过程中,( )是无穷小量。
A.; B.;
C.; D.
解:
无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量,所以
而A,C,D三个选项中的极限都不为0,故选项B正确。
三、计算应用题
⒈计算下列极限:
⑴ ⑵
(4)
解:
⑴
=
⑵
⑶题目所给极限式分子的最高次项为
分母的最高次项为,由此得
(4)当时,分子、分母的极限均为0,所以不能用极限的除法法则。
求解时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。
=
2.设函数
问
(1)为何值时,在处有极限存在?
(2)为何值时,在处连续?
解:
(1)要在处有极限存在,即要成立。
因为
所以,当时,有成立,即时,函数在处有极限存在,又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关,所以此时可以取任意值。
(2)依函数连续的定义知,函数在某点处连续的充要条件是
于是有,即时函数在处连续。
第三章导数与微分
导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。
在学习的时候要侧重以下几点:
⒈理解导数的概念;了解导数的几何意义;会求曲线的切线和法线;会用定义计算简单函数的导数;知道可导与连续的关系。
在点处可导是指极限
存在,且该点处的导数就是这个极限的值。
导数的定义式还可写成极限
函数在点处的导数的几何意义是曲线上点处切线的斜率。
曲线在点处的切线方程为
函数在点可导,则在点连续。
反之则不然,函数在点连续,在点不一定可导。
⒉了解微分的概念;知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数基本公式,熟练掌握下列求导方法
(1)导数的四则运算法则
(2)复合函数求导法则
(3)隐函数求导方法
(4)对数求导方法
(5)参数表示的函数的求导法
正确的采用求导方法有助于我们的导数计算,如
一般当函数表达式中有乘除关系或根式时,求导时采用取对数求导法,
例如函数,求。
在求导时直接用导数的除法法则是可以的,但是计算时会麻烦一些,而且容易出错。
如果我们把函数先进行变形,即
再用导数的加法法则计算其导数,于是有
这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数,求。
显然直接求导比较麻烦,可采用取对数求导法,将上式两端取对数得
两端求导得
整理后便可得
若函数由参数方程
的形式给出,则有导数公式
能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数,能够利用隐函数求导法,取对数求导法,参数表示的函数的求函数的导数。
⒋熟练掌握微分运算法则
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
一阶微分形式的不变性
微分的计算可以归结为导数的计算,但要注意它们之间的不同之处,即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。
⒍了解高阶导数的概念;会求显函数的二阶导数。
函数的高阶高数即为函数的导数的导数。
由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。
要求函数的阶导数就要先求函数的阶导数。
第三章导数与微分典型例题选解
一、填空题
⒈设函数在邻近有定义,且,则 。
解:
故应填1。
⒉曲线在点(1,1)处切线的斜率是 。
解:
由导数的几何意义知,曲线在处切线的斜率是,即为函数在该点处的导数,于是
故应填。
⒊设,则 。
解:
,故
故应填
二、单项选择题
⒈设函数,则( )。
A.; ;; D不存在
解:
因为,且,
所以,即C正确。
⒉设,则( )。
A.; B.; C.; D.
解:
先要求出,再求。
因为,由此得,所以
即选项D正确。
3.设函数,则( ).
; ;
; D.
解:
因为,其中的三项当时为0,所以
故选项C正确。
4.曲线在点( )处的切线斜率等于0。
A.; B.; C.; D.
解:
,令得。
而,故选项C正确。
5.,则( )。
A.; B.; C.; D.
解:
故选项C正确。
三、计算应用题
⒈设,求
解:
⑴由导数四则运算法则和复合函数求导法则
由此得
⒉设,其中为可微函数,求。
解
=
=
=
求复合函数的导数时,要先搞清函数的复合构成,即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的,特别要分清复合函数的复合层次,然后由外层开始,逐层使用复合函数求导公式,一层一层求导,关键是不要遗漏,最后化简。
3.设函数由方程确定,求。
解:
方法一:
等式两端对求导得
整理得
方法二:
由一阶微分形式不变性和微分法则,原式两端求微分得
左端
右端
由此得
整理得
4.设函数由参数方程
确定,求。
解:
由参数求导法
5.设,求。
解
第四章导数的应用典型例题
一、填空题
1.函数的单调增加区间是 .
解:
,当时.故函数的单调增加区间是.
2.极限 .
解:
由洛必达法则
3.函数的极小值点为。
解:
,令,解得驻点,又时,;时,,所以是函数的极小值点。
二、单选题
1.函数在区间上是()
A)单调增加B)单调减少
C)先单调增加再单调减少D)先单调减少再单调增加
解:
选择D
,当时,;当时,;所以在区间上函数先单调减少再单调增加。
2.若函数满足条件(),则在内至少存在一点,使得
成立。
A)在内连续;B)在内可导;
C)在内连续,在内可导;D)在内连续,在内可导。
解:
选择D。
由拉格朗日定理条件,函数在内连续,在内可导,所以选择D正确。
3.满足方程的点是函数的()。
A)极值点B)拐点
C)驻点D)间断点
解:
选择C。
依驻点定义,函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。
4.设函数在内连续,,且,则函数在处()。
A)取得极大值B)取得极小值
C)一定有拐点D)可能有极值,也可能有拐点
解:
选择D
函数的一阶导数为零,说明可能是函数的极值点;函数的二阶导数为零,说明可能是函数的拐点,所以选择D。
三、解答题
1.计算题
求函数的单调区间。
解:
函数的定义区间为,由于
令,解得,这样可以将定义区间分成和两个区间来讨论。
当时,;当是,。
由此得出,函数在内单调递减,在内单调增加。
2.应用题
欲做一个底为正方形,容积为108立方米的长方体开口容器,怎样做法所用材料最省?
解:
设底边边长为,高为,所用材料为
且
令得,
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