信号与系统吴大正第四章作业.docx
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信号与系统吴大正第四章作业
信号与系统吴大正第四章作业
信号与线形系统(第四版)吴大正主编
第四章课后习题:
4.1证明(n为正整数)是在区间的正交函数集。
它是否是完备的正交函数集?
解:
由于
所以在区间内是正交函数集。
存在使得
所以不是完备的正交函数集。
4.2上题中的函数集在区间是否是正交函数集?
解:
所以仍为正交函数集。
4.3讨论图4.1-2所示的前6个沃尔什函数在区间内是否是正交函数集。
解:
由题意得
所以前6个沃尔什函数在区间内是正交函数集。
4.4前四个勒让德函数多项式为
证明它们在区间内是正交函数集。
解:
由题意得
所以前四个勒让德函数多项式在区间内是正交函数集。
4.5实周期信号在区间内的能量定义为
如有和信号
(1)若与在区间内相互正交,证明和信号的总能量等于各信号的能量之和。
(2)若与不是互相正交的,求和信号的总能量。
解:
(1)由题意得
因为与在区间内相互正交,
所以
得
(2)有第一问可得
所以
4.6求下列周期信号的基波角频率和周期。
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
解:
(1)基波角频率,周期
(2)基波角频率,周期
(3)的基波角频率,的基波角频率,取两者最大公约数为和信号的基波角频率,所以,周期
(4),,的基波角频率分别为,,,取三者最大公约数为和信号的基波角频率,所以,周期为
(5),的基波角频率分别为,取两者最大公约数为和信号的基波角频率,所以,周期为。
(6),,的基波角频率分别为,,,取三者最大公约数为和信号的基波角频率,所以,周期为.
4.7用直接计算傅里叶系数的方法,求题4.7图所示周期函数的傅里叶系数(三角形式或指数形式)。
解:
(a)图所示周期,角频率
(b)图所示周期,角频率
4.8如题4.8图所示的4个周期相同的信号。
(1)用直接求傅里叶系数的方法求图(a)所示信号的傅里叶级数(三角形式)。
(2)将图(a)的函数左(或右)移,就得图(b)的函数,利用
(1)的结果求的傅里叶级数。
(3)利用以上结果求图(c)的函数的傅里叶级数。
(4)利用以上结果求图(d)的函数的傅里叶级数。
解:
(1)由图可得
所以可得
所以傅里叶级数为
(2)由图形可得
(3)比较和的波形可得
(4)由图形可得
4.9试画出题4.9图所示信号的奇分量和偶分量。
解:
由定义可得表示奇分量,表示偶分量
对于(a)图奇分量偶分量
对于(b)图奇分量偶分量
4.10利用奇偶性判断题4.10图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率分量。
解:
4.11某1Ω电阻两端电压如题4.11图所示。
(1)求的三角形式傅里叶级数。
(2)利用
(1)的结果和,求下列无穷级数之和。
(3)求1Ω电阻的平均功率和电压有效值。
(4)利用(3)的结果求下列无穷级数之和
4.12如题4.12图所示的周期性方波电压作用于RL电路,试求电流的前五次谐波。
4.13求题4.13图所示各信号的傅里叶变换。
4.14依据题意(a)、(b)的结果,利用傅里叶变换的性质,求题4.14图所示各信号的福利叶变换。
(d)
4.15若为虚函数,且,试证:
(1)
(2)
4.16若为复函数,可为
且。
式中均为实函数,证明:
(1)
(2),
4.17利用对称性求下列函数的福利叶变换。
(1)
(2)
(3)
4.18求下列信号的傅里叶变换。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4.19试用时域微积分性质,求题4.19图所示信号的频谱。
4.20若已知,试求下列函数的频谱。
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
(7)(8)(9)
4.21求下列函数的傅里叶逆变换。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4.22利用傅里叶变换性质,求题4.22图所示函数的傅里叶逆变换。
4.23试用下列方法求题4.23图所示信号的频谱函数。
(1)利用延时和线性性质(门函数的频谱可利用已知结果)
(2)利用时域的积分定理。
(3)将看作门函数与冲击函数的卷积和。
4.24试用下列方法求题4.24图所示余弦脉冲的频谱函数。
(1)利用福利叶变换定义。
(2)利用微分、积分特性。
(3)将它看作门函数与周期余弦函数的乘积。
4.25试求题4.25图所示周期信号的频谱函数。
图(b)中冲击函数的强度均为1。
4.26题4.26图所示升余弦脉冲可表示为
试用以下方法求其频谱函数。
(1)利用福利叶变换的定义。
(2)利用微分、积分特性。
(3)将它看作门函数与题4.25(a)图函数的乘积。
4.27如题4.27图所示信号的频谱函数为,求下列各值[不必求出]。
(1)
(2)
(3)
4.28利用能量等式
计算下列积分的值。
(1)
(2)
4.29一个周期为T的周期信号,已知其指数形式的傅里叶系数为,求下列周期信号的傅里叶系数。
(1)
(2)
(3)(4)
4.30求下列微分方程所描述系统的频率响应。
(1)
(2)
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