上海交通大学管理科学运筹学课件Word文档下载推荐.docx
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。
对于有向图
从
中去掉所有弧上的箭头,应得到一个无向图,称为
的基础图,记为
设
是
中的一个点弧交错序列,如果这个序列在基础图
中所对应的点边序列是一条链,则称这个点弧交错序列是
的一条链。
在实际问题中,往往只用图来描述的所研究对象之间的关系还是不够的,与图联系在一起的,通常还有与点或边有关的某些数量指标,称为“权”,权可以代表如距离、费用、通过能力(容量)等等。
这种点或边带有某种数量指标的图称为网络(即赋权图)。
5.1.3图的矩阵表示
用矩阵表示图对研究图的性质及应用常是比较方便的,图的矩阵表示方法有权矩阵、邻接矩阵、关联矩阵、回路矩阵等,这里只介绍其中两种常用矩阵。
定义1ﻩ网络
,其边是
有权
构造矩阵
其中,
称矩阵
为网络
的权矩阵。
图5-6表示图的权矩阵为
定义2ﻩ对于图
构造一个矩阵
,其中,
则称矩阵
为图
的邻接矩阵。
图5-7所示图的邻接矩阵
为
当
为无向图时,邻接矩阵为对称矩阵。
5.2最短路问题
最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。
许多优化问题可以使用这个模型,如设备更新、管道铺设、线路安排、厂区布局等。
问题表述:
给定一个赋权有向图
,对每一弧
相应地有权
,又有两点
设
中
到
的一条路,路
的权是
中所有弧的权之和,记为
最短路问题就是求从
的路中一条权最小的路
5.2.1 Dijkstra算法
该算法是由Dijkstra于1959年提出来,用于求解指定两点
、
之间的最短路,或从指定点
到其余各点的最短路,目前被认为是求
情形下最短路问题的最好方法。
算法的基本思路基于以下原理:
若
是从
的最短路,
中的一个点,那么从
沿
的路是从
的最短路。
采用标号法:
标号与
标号。
标号为试探性标号,
为永久性标号。
给
点一个
标号时,表示从
点的最短路权,
点的标号不再改变。
点的估计最短路权的上界,是一种临时标号。
凡没有得到
标号的点都有
算法每一步都把某一点的
标号改为
标号,当终点
得到
标号时,全部计算结束。
Dijkstra算法基本步骤:
⑴给
以
标号,
,其余各点均给
标号,
⑵若
点为刚得到
标号的点,考虑
且
对
的
标号进行如下的更改:
⑶比较所有具有
标号的点,把最小者
改为
标号,即
当存在两个以上最小者时,可同时改为
⑷若全部点均为
标号则停止。
否则用
代替
转回⑵。
例5.1用Dijkstra算法求图5-8中从
的最短路
解:
⑴首先给
给其余所有点
标号
⑵由于
且
标号点,所以修改
标号为:
在所有
标号中,
最小,于是令
⑶
是刚得到
标号的点,故考察
因为
,且
标号,故
新的
标号中,
最小,故令
⑷考察
,因
最小,令
⑸考察
最小,令
⑹考察
⑺考察
令
所有点都标上
标号,计算结束。
从
之最短路是:
,路长13,同时得到
到其余各点的最短路。
5.2.2逐次逼近算法
Dijkstra算法只适用于所有
的情形,当赋权有向图中存在负权时,则算法失效。
例如在图5-9所示的赋权有向图中,用Dijkstra算法得到
最短路的权是5,但这里显然不对;
的最短路是
权为3。
在存在负权时,我们采取逐次逼近算法来求解最短路。
为方便起见,不妨设从任一点
到任一点
都有一条弧,如果在
中,
则添加弧
令
显然,从
的最短路总是从
出发,沿着一条路到某点
,再沿
的,所以,从
的这条路必定是从
故有
的距离
必满足如下方程:
为了求解这个方程的解
的点数,令
为迭代步数。
若第
步,对所有
有
则
的最短路权。
例5-2 求图5-10所示赋权有向图中从
到各点的最短路。
迭代初始条件为:
有
用表5-1表示全部计算过程。
ﻬ表5-1 (表中空格为
)
j
i
wij
D(t)(v1,vj)
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
-1
-2
3
0
V2
6
2
-1
-5
-5
V3
-3
-5
1
-2
V4
8
3
-7
-7
-1
V6
1
7
V7
5
V8
6
当
时,发现
表明已得到
到各点
的最短路的权,即表中最后一列数。
如果需要知道
点到各点的最短路径,可以采用“反向追踪”的办法。
如已知,
因
故记下
因
记下
从而从
的最短路径是
递推公式中
实际意义为从
点,至多含有
个中间点的最短路权。
所以在含有
个点的图中,如果不含有总权小于零的回路,求从
到任一点的最短路权,用上述算法最多经过
-1次迭代必定收敛。
显然,如果图中含有总权小于零的回路,最短路权没有下界。
应用举例
例5-3ﻩ设备更新问题。
某企业使用一台设备,在每年年初,都要决定是否更新。
若购置新设备,要付购买费;
若继续使用旧设备,则支付维修费用。
试制定一个5年更新计划,使总支出最少。
若已知设备在各年的购买费及不同机器役龄时的残值和维修费,如表5-2所示。
表5-2
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
购买费
11
12
13
14
14
机器役龄
0-1
1-2
2-3
3-4
4-5
维修费
8
11
18
残值
4
解:
把这个问题化为最短路问题
用
表示第
年初购进一台新设备,虚设一个点
,表示第5年底;
用弧
初购的设备一直使用到第
年年底;
弧
上的数字表示第
年初购进设备,一直使用到第
年底所需支付的购买、维修的全部费用。
例如,
弧上的28是第1年初购买费11加上3年的维修费5,6,8,减去了3年役龄机器的残值2;
弧上的20是第2年初购买费12减去机器残值3与使用2年维修费5,6之和,见图5-11。
这样设备更新问题就变为:
求从
的最短路,计算结果表明
为最短路,路长为49。
即在第1年、第3年初各购买一台新设备为最优决策,这时5年的总费用为49。
5.3ﻩ最大流问题
最大流问题是一类应用极为广泛的问题。
例如在交通运输网络中有人流、车流、货物流;
供水网络中有水流;
金融系统中有现金流;
通讯系统中有信息流;
等等。
20世纪50年代Ford,Fulkerson建立的“网络流理论”是网络应用的重要组成部分。
图5-12是输油管道网,
为起点,
是终点,
为中转站,弧上的数表示该管道的最大输油能力,问应如何安排各管道输油量,才能使从
的总输油量最大?
5.3.1基本概念与基本定理
⑴网络与流
定义给一个有向图
,在
中指定一点
为发点,另一点
为收点,其余的点叫中间点。
对于每一个弧
,对应有一个
(简写为
),称为弧的容量。
这样的
叫做网络,记作
所谓网络上的流,是指定义在弧集合
上的一个函数
并称
为弧
上的流量,简记作
⑵可行流与最大流
①容量限制条件:
每一弧
②平衡条件:
对于中间点
,有
对于发点
,收点
称为这个可行流的流量。
可行流总是存在的,如零流,
所谓最大流问题,就是求一个流
,使其流量
达到最大,并且满足以上容量限制条件和平衡条件。
其实最大流问题是一个特殊的线性规划问题,但是利用它与图的紧密关系求解,更为直观简便。
⑶增广链
是网络中联结发点
和收点
的一条链,且链的方向是从
则与链的方向一致的弧叫前向弧,
表示前向弧的集合;
与链的方向相反的弧叫后向弧,
表示后向弧的集合。
定义ﻩ设
是一个可行流,
的一条链,若
满足下列条件,
是可行流的一条增广链。
1弧
上,
,即
中每一弧是非饱和弧。
2弧
上,
即
中每一弧是非零流弧。
⑷截集与截量
我们把始点在
,终点在
中的所有弧构成的集合,记为
定义给网络
若点集
被剖分为两个非空集合
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