考研数学一真题及答案解析Word下载.docx
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nUn
(A)发散.
(C)条件收敛
②f(X,y)在点(X。
,y°
)处的两个偏导数连续
④f(X,y)在点(X0,y0)处的两个偏导数存在.
Q,则有
(B)③②
(D)③①
④.
n1/11X
1,则级数
(1)()
n1
UnUn1
(B)绝对收敛.
(D)收敛性根据所给条件不能判定
(A)当
当Iim
f(x)0时,必有limf(x)0.
(B)当
当lim
f(x)存在时,必有limf(x)0
(C)当
X0
f(X)0时,必有limf(X)0.
(D)当
f(X)存在时,必有limf(X)0.
(4)设有三张不同平面的方程
aiXa2ya∣3zd,i1,2,3,它们所组成的线性方程组的系
数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
(A)(B)(Q(D)
(5)设Xi和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为fι(x)和f2(X),
分布函数分别为F1(X)和F2(X),则
(A)fi(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度.
(B)f1(X)f2(x)必为某一随机变量的概率密度.
(C)F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数
(D)Fι(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数
三、(本题满分6分)
设函数f(x)在X0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(0)0,f(0)0,若
af(h)bf(2h)f(0)在h0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值.
四、(本题满分7分)
arctanx+2
e+d+在点(0,0)处的切线相同,写岀此切线方程,并求极限
Iimnf
(2).
n
五、(本题满分7分)
22
计算二重积分emax{,y}dxdy,其中D{(x,y)10X1,0y1}
D
六、(本题满分8分)
设函数f(x)在(,)内具有一阶连续导数,L是上半平面(y>
0)内的有向分段光滑曲线其起点为(a,b),终点为(c,d)•记
1X
IL—[1y2f(xy)]dx—[y2f(xy)1]dy,
Lyy
(1)证明曲线积分I与路径L无关;
(2)当abCd时,求I的值.
七、(本题满分7分)
3
(1)验证函数y(x)1-
3!
(2)利用
(1)的结果求幕级数
3n
的和函数
0(3n)!
八、(本题满分7分)
设有一小山,取它的底面所在的平面为XOy坐标面,其底部所占的区域为D{(x,y)|x2
222
yXy75},小山的高度函数为h(x,y)75XyXy.
yXy75上找岀使
(1)中g(x,y)达到最大值的点
起点的位置
九、(本题满分6分)
十、(本题满分8分)
设代B为同阶方阵,
(1)若代B相似证明代B的特征多项式相等.
(2)举一个二阶方阵的例子说明
(1)的逆命题不成立
(3)当代B均为实对称矩阵时,证明
(1)的逆命题成立
十、(本题满分7分)
设维随机变量X的概率密度为
对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于一的次数,求Y的数学期望
其中(01)是未知参数,利用总体X的如下样本值
3,1,3,0,3,1,2,3,
求的矩估计值和最大似然估计值
2002年考研数学一试题答案与解析
、填空题
(2)
【分析】方程两边对X两次求导得
eyy'
6χy'
6y2χ0,
'
eyy'
6xy'
12y'
20.
以X0代入原方程得y0,以X
y0代入①得y'
0,,再以Xyy'
0代入②得
y'
(0)2.
(3)
【分析】这是二阶的可降阶微分方程
令y'
P(y)(以y为自变量),则y'
dy'
dP
PdP.
dX
dy
代入方程得
yPdPP20,即ydP
P
0(或P
0,但其不满足初始条件y'
X0匚)
dydy2
分离变量得dpdy0,
Py
积分得InPInyC即PCI(P0对应C10);
y
11
由X0时y1,Py'
得G.于是
A的特征值,所以6,0,0是A的特征值.
二、选择题
系.我们知道,f(x,y)的两个偏导数连续是可微的充分条件,若f(x,y)可微则必连续,故选(A).
1_
U11
【分析】由lim—10n充分大时即N,nN时0,且lim0,不妨认为
n1UnnUn
n,Un0,因而所考虑级数是交错级数,但不能保证的单调性.
Un
按定义考察部分和
Snn
(1)k1(丄丄)n
(1)k1-n
(1)k1)
k1Ukuk1k1Ukk1Uk1
原级数收敛
再考察取绝对值后的级数(——).注意-UnUn^--2,
n1UnUn11UnUnIn1
111
丄发散(丄—)发散.因此选(C).
n1nn1UnUn1
(3)【分析】证明(B)对:
反证法.假设Iimf(x)a0,则由拉格朗日中值定理,
f(2x)f(X)f'
()x(X)
(当X时,,因为X2x);
但这与f(2x)f(x)f(2x)f(x)2M矛盾
(f(x)M).
(4)
【分析】因为r(A)r(A)23,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯
一,因此应选(B).
(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是r(A)r(A)3.
(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故r(A)2和
r(A)3,且A中任两个平行向量都线性无关.
类似地,(D)中有两个平面平行,故r(A)2,r(A)3,且A中有两个平行向量共线
(5)
【分析】首先可以否定选项(A)与(C),因
[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx21,
F1()F2()1121.
1,2X1,1,0X1,
对于选项(B),若f1(x)f2(x)则对任何X(,),
0,其他,0,其他,
f1(x)f2(x)0,f1(x)f2(x)dx01,因此也应否定(C)综上分析,用排除法应选(D).
进一步分析可知,若令Xmax(X1,X2),而Xi~fi(x),i1,2,则X的分布函数F(X)恰是
FI(X)F2(x).
F(X)P{max(X1,X2)x}P{X1x,X2x}
P{X1x}P{X2x}
三、【解】用洛必达法则•由题设条件知
”叫af(h)bf(2h)f(0)](a
b1)f(0).由于f(0)0,
故必有ab10.
mo
Hh
In
a
bf(2h)f(0)h
2bf'
(2h)
(a2b)f'
(0)0,
及f(0)0,则有a2b0.
综上,得a2,b1.
四、【解】由已知条件得
arctanxt2
f(0)0,f'
(0)(Oedt)'
xX0
arctan2e
1x2
1,
故所求切线方程为yχ.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得
2f()f(0)f(X)f(O)
limnf
(2)2lim—C2lim-(—()
nnn2X0X
2f'
五、【分析与求解】D是正方形区域如图.因在D上被积函数分块表示
22x,xy,
max{X,y}2(x,y)D,
y,xy,
于是要用分块积分法,用yX将D分成两块
DD1UD2,D1DI{yx},D2DI{yx}.
max{x,y}
edxdy
DI
emax{x,y}dxdy
x2
e
dxdy
edxdy2e
D2
dxdy(D关于y
X对称)
dx
o
XX2eo
dy(选择积分顺序)
1χe"
x2e
e1.
六、【分析与求解】
(1)易知PdXQdy原函数,
PdXQdydx
yf(xy)dxXf(Xy)dy
Ady
2(ydxXdy)f(xy)(ydxXdy)
Xy
d(—)
f(xy)d(xy)d[—
Of(t)dt]
XXy
在y0上PdX
Qdy原函数,即u(x,y)
f(t)dt.
y0
积分I在yO与路径无关.
(2)因找到了原函数,立即可得Iu(x,y)(a,b)--db
七、【证明】
与书上解答略有不同,参见数三2002第七题
(1)因为幕级数
y(x)
3X
6X
6!
9X
9!
—L
(3n)!
的收敛域是(
),因而可在
)上逐项求导数
得
所以
(2)与y'
(x)
y'
y
2X
2!
5
5!
8X
8!
3n1
(3n1)!
4X
4!
7X
7!
X3n
(3n2)!
X2
X—2!
nX
n!
e相应的齐次微分方程为
0,
13
-——i.
22
因此齐次微分方程的通解为Y
X3二
e(C1cosXC2sinx).
设非齐次微分方程的特解为
yAex,将y代入方程y"
X_
ye可得
1,即有y
于是,方程通解为y
I3
e2(C1cosX
12
C2Sin
X)
当X0时,有
于是幕级
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