多元函数求导法则Word文档下载推荐.docx
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可微与可导间的关系5分钟全微分的算法及应用25分钟
复合函数求导法则(推广及特例4种)40分钟
一阶全微分形式的不变性15分钟隐函数求导法20分钟
小结5分钟
教学重点与难点:
重点:
全微分的概念:
复合函数求导规则:
隐函数求导法
难点:
全微分存在的充分条件;
锁链法则的理解;
函数结构图的分析
教学方法与手段:
教学方法:
讲授式为主,启发式和讨论式相结合,借助示意图及实例分析,加深对抽象概念理解。
教学手段:
传统教学手段(板书)与现代化教学手段(多媒体)相结合,既有演算推导过程,又提高单位时间授课信息戢。
教学组长审阅意见:
签名:
年月曰
教研室主任审阅意见:
基本容
教学方法手段
和时间分配
复习回顾:
一元复合函数求导法则
5*
第三节全微分及其应用
一元函数:
y=f(x),在x点可导:
lim—-==>
Ay=f(x+Aa)—f(x)=/'
(x)Ax+a^x
Ax
=A^x+o(^x)
二元函数:
z=f(x.y),在(x,y)点—存在:
希望全增量&
为
难点
dxdy
Az=f(x+zkv,y+Ay)一f(x.y)=Azkv+BHy+o(Q)
(1)
其中AB是不依赖于2Lv,Ay(仅与x,y点有关)的常数,
p=7(Ax)2+(Ay)2
下而给岀全微分的定义、存在的充要条件。
一、全微分概念
定义:
若
(1)式成立,则称z=f(x,y),在点(x,y)可微分,而
AAv+BAy称为在该点的全微分(totaldifferential),记为:
dz=AAx+BAy
(2)
二、可微与可导间的关系
P222定理1(必要条件)
f(x.y)在(x,y)点全微分存在—,—1?
在(+连续)
6胃
(
(1)式成立)P223定理2(充分条件)
AB
几点说明:
1)P222定理1为全微分存在的必要条件定理,即
(1)式成立
(x2+yHO)
5’
2)反之不成立。
反例见=f+厂分段
0(X2+y2=0)
函数(即&
—不是。
的高阶无穷小)
3)反之何时成立?
这就是P223定理2(充分条件)(+偏导连续)
4)定理2的证明中用到拉格朗日中值定理(P80,(3-1-2'
))
5)将自变量的增量称为自变量的微分,记为从而
dzdz.
dz=—dx+—dy(3)
dx勿’
6)可以推广到多元函数(>二元)
三、算法
例:
求全微分。
(1)
=ln(x2+y2)=>
dz=.2andx+.dy
(2)u=xy2z^
du=—dx+—dy+—dz,=y2z5dx+2xyz.ydy+3xy2z2dzdxdydz
dz
=(\+xyYln(l+x>
9+dxv-2
vU)L
xy
1+小
=0
x-2
y-0
6
.r-2
v-0
=,(1+小)1-2=4
.•・=4t/y
四、全微分应用
1.近似计算
讨论式
△z=/(Xo+山,儿+△$)-/(心儿)心dz=f;
(x°
y0)dx+fy(x0,y0)dy
=>
f(x0+Ax,y0+Ay)«
dz+f(x{),儿)
例(P224例4)求#(2.02)2+(1.97)2的近似值。
例(P224例3)求已知两端封闭的金属圆桶的底而半径为30厘米,髙为120厘米。
要将它刷上0.02厘米厚的汕漆,问共需多少汕漆?
2.误差估讣(自学)
课堂练习:
1.求下列函数的全微分。
(2)u=sin(A2+y2+z2)
(1)z=ln(l+x+y2)
教学方法手段和时间分配
(-)复合函数的偏导数
定理(P229)如果
1)"
=(pg=0(X,y)在(x,y)点学,工,字,存在;
oxdyoxoy
10r
2)z=/(w,v)在对应点(仏“),仝,乞连续,dudv
则Z=/回X,y),肖(x,>
'
)]在点(x,y)有
dz.dzdudz,dv
—=+
(1)
dxdudxdvdx
dz,dz,dudzdv_、
dydudydvdy
z—
“・“・r士dzdz,
例1z=esinv,it=xy.v=x+y"
求一,一。
例2Z=J(x~y,xy~),求«
oxdy
推广及特殊情形:
(1)自变量多于2个
Z=/("
v),u=u(x,=v(a\yj)
推r:
三元为三个
dzdz.dudzd\^y///yX
——=T//
偏微分之和
dxdiidxdvdx/
dzdzdudz.dvt
dydudydvdy/
dz,dzdudz,dv
—+
dtdudtd\^dt
(2)中间变虽:
名于2个
Z=a))9u=w(x,y),v=v(x,y)g=a)(x9y)
启发式互动
07.
dzdu
ozov
ozcco
十
dx
dudx
*dvdx
ocodx
6zdv亠
」dzoco
dudy
dvdy
dcody
板书
例3z=,u=x2+V2♦v=x2-y1.co=2xy.
12\lll+V+6T
十比dz
oxdy
(3)只有一个中间变量
z=f(u.x.y).u=u(x,y)
例4z=f(x.>
\w)=”+宀广,u=x2cosy,求仝,仝。
(4)只fj•个门变;
„全导数,totalderivative)
Z=/(w,v),ii=w(a)3?
=v(x)
dzdzchidzdv
(5丿土屮汕公K•0/?
变:
i[((42中=x)_
Z=f(uyv),u=u(x)
dzdzdudz,—=+—dxdudxdx
例5z=—x=e\y=\-e21,求L。
a•dt
(二)一阶全微分形式的不变性
1°
兀为自变量W,dy=fWdx
2°
x=0(r)时,dy=f^(p\t)dt=/;
(x)dx
二元函数:
z=f(x,y)在(x,y)点可微
c_c~
2)若x=(p(s.t).y=,则dz=—dx+—dy仍成立。
iiE:
画出函数结构图,所以
〃"
竺心+竺〃2冬(色ds+虫〃)+冬(空心+空力)
dsdtdxdsdtdydsdt
=^dx+^dy
注意:
1)这里不变性是指形式不变。
〃锁链法则"
2)多元函数全繳分四则运算公式同一元情形形式上一样(见P207四条公式)
3)利用一阶全微分形式不变性来计算全微分与偏导数与按全微分定义求全澈分的路线相反。
例6"
=~~>
o
+y-dxdy
(x2+y2)dx-xd(x2+y2)
du_y2-x2du_2xydx(x2+y2)2®
(x2+y2)2
例7z=exsiny\x=s+t.y=st
求血翳
dzdz
dsdt
练习:
习题七27
(1):
28
(2);
31
(1)
二、隐函数微分法
(一〉一元隐函数求导公式
Fg)=O=>
y*(x),求务?
方法一;
两边对x求导,解出
方法二:
由*7"
±
(不息无法用—般公式表述)
竺+竺冬=0~dxdydx
例8设0厂=3卩2,求空。
dx
(二〉二元隐函数求导公式
F(x,”z)=0=>
?
=f(x.y),求二=?
,二=?
注意两点:
1)搞清函数复合关系;
2)对某个自变呈求偏导,应经过一切中间变星而归结到该自变呈。
201
尺可尺•尺
==
比-去&
¥
厂■
本a7-axa7¥
ar一&
來¥
Xy
例9设—In—=0,求一,一czydxdy
例10设cos2x+cos2y+cos2z=1,求dz。
练习:
习题七-35
(1);
36(3)
小结
借用上图和上式
竺:
视z为忑y
CX
的函数,固走y,Z对X求导;
生:
视Z为
C.V
的函数,固走匕y■z对工求导。
带入为一元函数,故竺
1S'
注意体会利用一
阶全微分形式不变性求全微分和偏导数与按走义求全微分不同
公式
首先构适F(x,y,z)
101
小
结
1.掌握全微分公式及应用:
2.多元复合函数的求导法则;
3.一阶全微分形式的不变性;
4.隐函数求导法。
思考题及作业题
作业:
习题七15
(1);
25(2,4);
26
(1);
29
(2);
32
(2);
33
(2);
34
预习:
第七章第七节多元函数的极值
第八节经验公式与最小二乘法
实施情况
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 多元 函数 求导 法则