高考数学复习同步练习 第1讲 集合的概念和运算Word文档格式.docx
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m,m,n∈A,m≠n}={6,8,12}.
答案 B
5.设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
解析 若N⊆M,则需满足a2=1或a2=2,解得a=±
1或a=±
.故“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件.
6.设集合A=,B={y|y=x2},则A∩B=( ).
A.[-2,2]B.[0,2]
C.[0,+∞)D.{(-1,1),(1,1)}
解析 A={x|-2≤x≤2},B={y|y≥0},∴A∩B={x|0≤x≤2}=[0,2].
二、填空题
7.设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=________.
解析 ∵3∈B,又a2+4≥4,∴a+2=3,∴a=1.
答案 1
8.已知集合A={0,2,a2},B={1,a},若A∪B={0,1,2,4},则实数a的值为________.
解析 若a=4,则a2=16∉(A∪B),所以a=4不符合要求,若a2=4,则a=±
2,又-2∉(A∪B),∴a=2.
答案 2
9.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论:
①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;
②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;
③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合.
其中正确结论的序号是________.
解析 ①中,-4+(-2)=-6∉A,所以不正确.
②中设n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确.③令A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=2k,k∈Z},3∈A1,2∈A2,但是,3+2∉A1∪A2,则A1∪A2不是闭集合,所以③不正确.
答案 ②
10.已知集合A=,B={x|x2-2x-m<
0},若A∩B={x|-1<
x<
4},则实数m的值为________.
解析 由≥1,得≤0,
∴-1<
x≤5,∴A={x|-1<
x≤5}.
又∵B={x|x2-2x-m<
0},A∩B={x|-1<
4},
∴有42-2×
4-m=0,解得m=8.
此时B={x|-2<
4},符合题意,故实数m的值为8.
答案 8
三、解答题
11.若集合A={-1,3},集合B={x|x2+ax+b=0},且A=B,求实数a,b.
解 ∵A=B,∴B={x|x2+ax+b=0}={-1,3}.
∴∴a=-2,b=-3.
12.已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.
(1)9∈(A∩B);
(2){9}=A∩B.
解
(1)∵9∈(A∩B),∴9∈A且9∈B,
∴2a-1=9或a2=9,∴a=5或a=-3或a=3,
经检验a=5或a=-3符合题意.∴a=5或a=-3.
(2)∵{9}=A∩B,∴9∈A且9∈B,
由
(1)知a=5或a=-3.
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},
此时A∩B={9},
当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},
此时A∩B={-4,9},不合题意.∴a=-3.
13.设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.
(1)若a=,试判定集合A与B的关系;
(2)若B⊆A,求实数a组成的集合C.
解 由x2-8x+15=0,得x=3或x=5.∴A={3,5}.
(1)当a=时,由x-1=0,得x=5.
∴B={5},∴BA.
(2)∵A={3,5}且B⊆A,
∴若B=∅,则方程ax-1=0无解,有a=0.
若B≠∅,则a≠0,由方程ax-1=0,得x=,
∴=3或=5,即a=或a=,
∴C=.
14.设集合A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},若A∩B={9},求A∪B.
解 由9∈A,可得x2=9或2x-1=9,
解得x=±
3或x=5.
当x=3时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B中元素重复,故舍去;
当x=-3时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},A∩B={9}满足题意,故A∪B={-7,-4,-8,4,9};
当x=5时,A={25,9,-4},B={0,-4,9},
此时A∩B={-4,9}与A∩B={9}矛盾,故舍去.
综上所述,A∪B={-8,-4,4,-7,9}.
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件
1.若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
解析若a=1,则有|a|=1是真命题,即a=1⇒|a|=1,由|a|=1可得a=±
1,所以若|a|=1,则有a=1是假命题,即|a|=1⇒a=1不成立,所以a=1是|a|=1的充分而不必要条件.
答案A
2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”
C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
解析原命题的逆命题是:
若一个数的平方是正数,则它是负数.
3.已知集合A={x∈R|<
2x<
8},B={x∈R|-1<
m+1},若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A,则实数m的取值范围是( )
A.m≥2B.m≤2
C.m>
2D.-2<
m<
2
解析A={x∈R|<
8}={x|-1<
3}
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A
∴AB
∴m+1>
3,即m>
2.
答案C
4.命题:
“若x2<
1,则-1<
1”的逆否命题是( )
A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1
B.若-1<
1,则x2<
1
C.若x>
1或x<
-1,则x2>
D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
解析x2<
1的否定为:
x2≥1;
-1<
1的否定为x≥1或x≤-1,故原命题的逆否命题为:
若x≥1或x≤-1,则x2≥1.
答案D
5.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( ).
A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
解析 否命题既否定题设又否定结论,故选B.
6.方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是( ).
A.0<
a≤1B.a<
C.a≤1D.0<
a≤1或a<
解析 法一 (直接法)当a=0时,x=-符合题意.
当a≠0时,若方程两根一正一负(没有零根),
则⇔⇔a<
0;
若方程两根均负,则⇔⇔0<
a≤1.
综上所述,所求充要条件是a≤1.
法二 (排除法)当a=0时,原方程有一个负实根,可以排除A,D;
当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B,所以选C.
答案 C
7.已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题
p1:
|a+b|>1⇔θ∈
p2:
p3:
|a-b|>1⇔θ∈
p4:
其中真命题的个数是____________.
解析 由|a+b|>1可得a2+2a·
b+b2>1,因为|a|=1,|b|=1,所以a·
b>-,故θ∈.当θ∈时,a·
b>-,|a+b|2=a2+2a·
b+b2>1,即|a+b|>1,故p1正确.由|a-b|>1可得a2-2a·
b<,故θ∈,反之也成立,p4正确.
8.若“x2>
1”是“x<
a”的必要不充分条件,则a的最大值为________.
解析由x2>
1,得x<
-1或x>
1,又“x2>
a”的必要不充分条件,知由“x<
a”可以推出“x2>
1”,反之不成立,所以a≤-1,即a的最大值为-1.
答案-1
9.已知集合A=,B={x|-1<
m+1,x∈R},若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A,则实数m的取值范围是________.
解析 A=={x|-1<
3},
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,∴AB,
答案 (2,+∞)
10.“m<
”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的________条件.
解析 x2+x+m=0有实数解等价于Δ=1-4m≥0,即m≤.
答案 充分不必要
11.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
解
(1)逆命题:
已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,为真命题.
(2)否命题:
已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,则a2<
4b,为真命题.
(3)逆否命题:
已知a,b∈R,若a2<
4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,为真命题.
12.求方程ax2+2x+1=0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件.
解方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根.
当a=0时,x=-适合条件.
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,
则Δ=4-4a≥0,∴a≤1,
当a=1时,方程有一负根x=-1.
当a<
1时,若方程有且仅有一负根,则x1x2=<
0,
∴a<
0.
综上,方程ax2+2x+1=0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a=1.
13.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
(1)若ab=0,则a=0或b=0;
(2)若x2+y2=0,则x,y全为零.
解
(1)逆命题:
若a=0或b=0,则ab=0,真命题.
否命题:
若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题.
逆否命题:
若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题.
(2)逆命题:
若x,y全为零,则x2+y2=0,真命题.
若x2+y2≠
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