人教版数学八年级上册第十二章《全等三角形》专题练习.docx
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人教版数学八年级上册第十二章《全等三角形》专题练习
第十二章《全等三角形》专题练习
专题1 证明三角形全等的解题思路
思路一:
找边
边相等呈现的方式:
①公共边(包括全部公共和部分公共);②中点.
类型1 已知两边对应相等,找第三边相等
1.如图,已知AB=DE,AD=EC,D是BC的中点,求证:
△ABD≌△EDC.
类型2 已知两角对应相等,找夹边相等
2.如图,∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠DBC,求证:
△ABD≌△CDB.
类型3 已知两角对应相等,找其中一角的对边相等
3.两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点,不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等?
为什么?
类型4 已知直角三角形的直角边(或斜边)相等,找斜边(或直角边)相等
4.如图,∠A=∠D=90°,AB=DF,BE=CF.
求证:
△ABC≌△DFE.
思路二:
找角
角相等呈现的方式:
①公共角;②对顶角;③角平分线;④垂直;⑤平行.
类型5 已知两边对应相等,找夹角相等
5.如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE.求证:
△ABC≌△ADE.
6.如图,已知AD=AE,AB=AC,求证:
△ABE≌△ACD.
7.如图,已知AD是△ABC中BC边上的中线,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,求证:
△ACD≌△EBD.
类型6 已知一边一角对应相等,找另一角相等
8.如图,已知D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE,求证:
△ABC≌△DAE.
9.如图,已知∠BDC=∠CEB=90°,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC,求证:
(1)△ADO≌△AEO;
(2)△BDO≌△CEO.
专题2 全等三角形的基本模型
类型1 平移模型
1.如图,AC=DF,AD=BE,BC=EF.求证:
(1)△ABC≌△DEF;
(2)AC∥DF.
类型2 对称模型
2.如图,点E,C在BF上,BE=CF,AB=DF,∠B=∠F,求证:
∠A=∠D.
3.如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,AD=AE.求证:
BE=CD.
4.如图,∠B=∠D,请添加一个条件(不得添加辅助线),使得△ABC≌△ADC,并说明理由.
类型3 旋转模型
5.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC.求证:
BC=DE.
6.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AB∥CD,O是BD的中点.
(1)求证:
△ABO≌△CDO;
(2)若BC=AC=4,BD=6,求△BOC的周长.
类型4 一线三等角模型
7.如图,AD⊥AB于点A,BE⊥AB于点B,点C在AB上,且CD⊥CE,CD=CE.求证:
AD=CB.
类型5 综合模型
平移+旋转模型:
平移+对称模型:
8.如图,已知点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,∠A=∠D.
(1)求证:
AC∥DE;
(2)若BF=13,EC=5,求BC的长.
小专题3 构造全等三角形的常用方法
方法1 利用“角平分线”构造全等三角形
因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等),故在处理角平分线问题时,常作以下辅助线构造全等三角形:
(1)在角的两边截取两条相等的线段;
(2)过角平分线上一点作角两边的垂线段.
1.如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M,N两点,求证:
PM=PN.
【拓展1】 OM+ON的值是否为定值?
请说明理由.
【拓展2】 四边形PMON的面积是否为定值?
请说明理由.
方法2 利用“截长补短法”构造全等三角形
截长补短法的具体做法:
在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等,或将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等题目.
2.如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:
BC=AB+CD.
3.如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.点E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
(1)小王同学探究此问题的方法是:
延长FD到点G,使DG=BE,连接AG.先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是;
(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立?
并说明理由.
方法3 利用“倍长中线法”构造全等三角形
将中线延长一倍,然后利用“SAS”判定三角形全等.
4.如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点,求证:
DE=2AM.
方法4 利用“三垂直”构造全等三角形
如图,若AB=AC,AB⊥AC,则可过斜边的两端点B,C向过A点的直线作垂线构造△ABD≌△CAE.在平面直角坐标系中,过顶点A的直线常为x轴或y轴.
5.已知在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,将△ABC放在平面直角坐标系中,如图所示.
(1)如图1,若A(1,0),B(0,3),求C点坐标;
(2)如图2,若A(1,3),B(-1,0),求C点坐标;
(3)如图3,若B(-4,0),C(0,-1),求A点坐标.
参考答案
专题1 证明三角形全等的解题思路
1.证明:
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在△ABD和△EDC中,
∴△ABD≌△EDC(SSS).
2.证明:
在△ABD和△CDB中,
∴△ABD≌△CDB(ASA).
3.解:
全等.理由:
∵两三角形纸板完全相同,
∴BC=BF,AB=BD,∠A=∠D.
∴AB-BF=BD-BC,
即AF=DC.
在△AOF和△DOC中,
∴△AOF≌△DOC(AAS).
4.证明:
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,
即BC=EF.
在Rt△ABC和Rt△DFE中,
∴Rt△ABC≌Rt△DFE(HL).
5.证明:
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC.
∴∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
6.证明:
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(SAS).
7.证明:
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
在△ACD和△EBD中,
∴△ACD≌△EBD(SAS).
8.证明:
∵DE∥AB,
∴∠CAB=∠EDA.
在△ABC和△DAE中,
∴△ABC≌△DAE(ASA).
9.证明:
(1)∵AO平分∠BAC,
∴∠DAO=∠EAO.
∵∠BDC=∠CEB=90°,
∴∠ADO=∠AEO.
在△ADO和△AEO中,
∴△ADO≌△AEO(AAS).
(2)∵△ADO≌△AEO,
∴DO=EO.
在△BDO和△CEO中,
∴△BDO≌△CEO(ASA).
小专题2 全等三角形的基本模型
1.证明:
(1)∵AD=BE,
∴AD+DB=BE+DB,
即AB=DE.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠EDF.
∴AC∥DF.
2.证明:
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,
即BC=FE.
在△ABC和△DFE中,
∴△ABC≌△DFE(SAS).
∴∠A=∠D.
3.证明:
在△AEB和△ADC中,
∴△AEB≌△ADC(SAS).
∴BE=CD.
4.解:
添加∠BAC=∠DAC(答案不唯一),理由:
在△ABC和△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(AAS).
5.证明:
∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD.
∴∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
∴BC=DE.
6.解:
(1)证明:
∵AB∥CD,
∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.
∵O是DB的中点,∴BO=DO.
在△ABO和△CDO中,
∴△ABO≌△CDO(AAS).
(2)∵△ABO≌△CDO,∴AO=CO=AC=2.
∵BO=BD=3,
∴△BOC的周长为BC+BO+OC=4+3+2=9.
7.证明:
∵AD⊥AB,BE⊥AB,
∴∠A=∠B=90°.
∴∠D+∠ACD=90°.
∵CD⊥CE,
∴∠ACD+∠BCE=180°-90°=90°.
∴∠D=∠BCE.
在△ACD和△BEC中,
∴△ACD≌△BEC(AAS).
∴AD=CB.
8.解:
(1)证明:
在△ABC和△DFE中,
∴△ABC≌△DFE(SAS).
∴∠ACB=∠DEF.
∴AC∥DE.
(2)∵△ABC≌△DFE,
∴BC=EF.
∴BE=CF=(BF-EC)=4.
∴BC=BE+EC=9.
专题3 构造全等三角形的常用方法
1.证明:
过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,
∴∠PEO=∠PFO=90°.
∴∠EPF+∠AOB=180°.
∵∠MPN+∠AOB=180°,
∴∠EPF=∠MPN.
∴∠EPM=∠FPN.
∵OP平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF.
在△PEM和△PFN中,
∴△PEM≌△PFN(ASA).∴PM=PN.
【拓展1】 解:
OM+ON的值是定值.
理由:
∵△PEM≌△PFN,∴ME=NF.
易证△EPO≌△FPO,∴OE=OF.
∴OM+ON=OE+EM+ON=OE+NF+ON=OE+OF=2OE=定值.
【拓展2】 解:
四边形PMON的面积是定值.
理由:
∵△PEM≌△PFN,
∴S△PEM=S△PFN.∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值.
2.证明:
在BC上截取BF=AB,连接EF.
∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,
∴∠ABE=∠FBE,∠FCE=∠DCE.
在△ABE和△FBE中,
∴△ABE≌△FBE(SAS).
∴∠A=∠BFE.
∵AB∥CD,
∴∠A+∠D=180°.
∴∠BFE+∠D=180°.
∵∠BFE+∠CFE=180°,
∴∠CFE=∠D.
在△FCE和△DCE中,
∴△FCE≌△DCE(AAS).
∴CF=CD.
∴BC=BF+CF=AB+CD.
3.
(1)EF=BE+DF;
(2)解:
EF=BE+DF仍然成立.
理由:
延长FD到G,使DG=BE,连接AG,
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADG=180°,
∴∠B=∠ADG.
在△ABE和△ADG中,
∴△ABE≌△ADG(SAS).
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF.
在△AEF和△AGF中,
∴△AEF≌△AGF(SAS).∴EF=FG.
∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF.
4.证明:
延长AM至N,使MN=AM,连接BN.
∵点M为BC的中点,
∴BM=CM.
在△AMC和△NMB中,
∴△AMC≌△NMB(SAS).
∴AC=BN
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