数论算法教案1章整数的可除性Word格式.docx
- 文档编号:13675621
- 上传时间:2022-10-12
- 格式:DOCX
- 页数:34
- 大小:372.21KB
数论算法教案1章整数的可除性Word格式.docx
《数论算法教案1章整数的可除性Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数论算法教案1章整数的可除性Word格式.docx(34页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
【特例】:
(1)0是任何非零整数的倍数;
(2)±
1是任何整数的因数;
(3)任何非零整数a是其自身的倍数,也是其自身的因数。
(二)性质
(1)设,则│。
(证)a=bq-a=q(-b)
其余类推。
【例,±
2,±
3,±
5,±
6,±
15,±
30
(2)传递性:
,
(证)且b=c,a=b
a=cc│a。
(3),,则
(4),,则对任意整数s、t,有
推广:
(5)若,,则a=±
b
(证)a=b
b=a
a=
=1
=±
1
(6)(c≠0)
(7)若,则≤
(三)例
【例,则。
(证)
已知。
。
即m=7q
n=3(7q)=21q。
又=(an+n)-an=n,即
(由a=2t-1知2t=a+1,从而2tn=an+n)
【例,b是两个给定的非零整数,且有整数x,y,使得。
证明:
若且,则
由且。
=n(ax+by),即。
注意:
,由此也证明了例
【例,则
(证)
由及
=
(k=1,2,…,n)
∴。
应用:
若,那么。
设,判断7能否整除。
因=7q+4,故只需判断:
==3082?
答:
不能
(四)素数
(1)定义(素数与合数)
设整数p≠0,±
1。
如果它除了显然约数±
1,±
p外没有其它的约数,那么,就称为素数(或质数、不可约数)。
若a≠0,±
1,且不是素数,则称为合数。
约定:
素数一般指正整数。
(2)性质
(a)最小正因数必是素数
(b)n是正整数,当2≤p≤且pn,则n是素数。
(c)素数有无穷多。
(证)(c):
用反证法。
假设只有有限个素数:
。
构造
则且(=1,2,…,k)。
∴a必是合数存在素数p,使得。
由假设知p等于某个
一定整除
但素数,矛盾。
因此,假设是错误的,即素数必有无穷多个。
性质(b)的应用:
快速判断素数。
扩展:
设是全体素数按大小顺序排成的序列,以及
直接计算可得:
,,,,
,,,
,,
前五个是素数,后五个是合数,但都有一个比更大的素因数。
未解决的问题:
至今还不知道是否有无穷多个k使是素数,也不知道是否有无穷多个k使是合数。
(五)欧几里德除法
也叫带余数除法、除法算法
初等数论的证明中最重要、最基本、最常用的工具之一。
(1)欧几里德除法:
设a,b是两个给定的整数,b≠0。
那么,一定存在唯一的一对整数q与r,满足
b>
0。
上式可表为
(2)
(2)存在性
当时,可取,r=0。
当ba时,考虑集合
={……,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,……}
将实数分为长度为b的区间,a必落在某区间内,即存在整数q,使得
qb≤a<(q+1)b
令r=a-bq,则有
(3)唯一性
设有也满足
(2)式,即
必有
当q≠时有≥b,
矛盾,故必有,。
(4)推论:
的充要条件是r=0。
当a=qb+r时,有。
当满足时,就有r=0。
(5)一般形式
设a,b是两个给定的整数,,则对任意整数c,一定存在唯一的一对整数q与r,满足
(3)
此外,的充要条件是。
a=100,b=30,c=10,则10≤r<40,即100=3*30+10
若c=35,则35≤r<65,即100=2*30+40
若c=-50,则-50≤r<-20,即100=5*30+(-50)
(六)不完全商和余数
【定义,称q为a被b除所得的不完全商,称r为a被b除所得的余数。
【推论】b│a的充要条件是a被b除所得的余数r=0。
余数的分类:
1.最小非负余数c=0,0≤r<b
2.最小正余数c=1,1≤r≤b
3.最大非正余数c=-b+1,-b+1≤r≤0
4.最大负余数c=-b,-b≤r<0
5.最小绝对余数-b/2≤r<b/2或-b/2<r≤b/2
(七)下整数与上整数
【定义设x是一个实数,称为下整数函数,其值为不大于x的最大整数。
即x满足
≤x<+1
上整数函数:
表示不小于x的最小整数。
即
-1<x≤
≤x≤
四舍五入函数:
函数是将x四舍五入的结果。
说明当a=qb+r(0≤r<
b)时,有q=,r=a-b
===3,
===-4
===4,
===-3
=3,=-3,[3.5]=4,[-3.5]=-3,[3.9]=4,[-3.9]=-4
整数的表示
(八)整数的表示方法
【定理设p是大于1的正整数,则每个正整数n可以唯一地表示成
其中为整数,0≤<p(i=0,1,…,k)且首项系数≠0(即≤n<)。
【定义用=表示展开式
其中0≤≤p-1(i=0,1,…,k),≠0,并称其为整数n的p进制表示。
【推论1】每个正整数都可以表示成不同的2的幂的和。
因为对于二进制而言,系数只能为0或1。
(九)数制的转换(整数)
十进制转换为p进制:
除p取余
p进制转换为十进制:
用展开式计算
最大公因数与欧几里得除法
(一十)最大公因数
【定义,那么d就称做的公因数(或公约数、公因子)。
若整数不全为零,那么的公因数中最大的一个叫做最大公因数,记作。
互素(互质):
当=1时,称互素或互质。
等价定义:
d>0是的最大公因数的数学表达式可表示为
(1);
(2)若,则e│d。
【例求最大公因数(12,18),(6,10,-15),(n,n+1)。
(解)(用定义求)a1=12,a2=18,故其公因数是±
1,±
6,最大公因数是6。
a1=6,a2=10,a3=-15,它们的公约数是±
1,且最大公因数(6,10,-15)=1。
小结论:
任何n和n+1的公约数都是±
(一十一)性质
(1)(a)=
(2)(a,b)=(b,a)
一般情形
其中是1,2,…,n的一个全排列。
(3)设a,b为正整数,若b│a,则(a,b)=b
一般:
为整数且≠0,│(i=2,3,…,n),则
==
==()=
【例,-12,42),(21,56,-7)
(解)因为6│-12,6│42,所以
(6,-12,42)=(6,-12)=(6,12)=6
又知-7│21,-7│56,故(21,56,-7)=7
(4)设p为素数,a为整数,若pa,则p与a互素。
(证)设d=(p,a),则d│a,d│p
但p为素数,故d=1或p。
若d=p,则由d│a知p│a,与假设矛盾
故d=1,即(p,a)=1
(5)设是n个不全为零的整数,则
(i)与的公因数相同。
(ii)()=
(证)由d│知d│,反之,若d│,则必有d│,故(i)成立。
由(i)立得(ii)。
(6)设a、b为正整数,则
(证)是性质(5)中(ii)的特例。
一般情形:
a、b为整数,则==
或均为整数,则
(7)设整数b>0,则(0,b)=b
一般形式:
b≠0,则(0,b)=
(8)设a,b,c是三个不全为零的整数,a=bq+c,其中q是整数,则
(a,b)=(b,c)
(证)设d=(a,b),e=(b,c)。
则
由d│a,d│b知d│a-bq=c知d为c的因数,从而d≤e。
同理可知e≤d,故d=e。
意义:
是快速求最大公因数d=(a,b)的算法的理论基础。
设a,b>0且a>b,a=bq+c,则(a,b)=(a-bq,b)=(c,b)=(b,c)
【例,-189)和(8877,9988)
(解)由性质8知
(389,-189)=(389,189)
=(389-189×
2,189)=(11,189)=(189,11)
=(189-11×
17,11)=(11,2)=1
(注:
本例大数在前,一般可不考虑两个数的顺序)
(8877,9988)=(8877,9988-8877×
1)
=(8877,1111)=(8877-1111×
7,1111)
=(1100,1111)=(1111,11)=(0,11)=11
(9)对任意的整数x,y,有
=======……
化简计算过程
【例,809,17)。
(解)(51,809,17)=(17×
3,809,17)=(809,17)
===……(1≤i,j≤n)
(10)对任意整数x,有
==
==…
注:
性质(8)的一般情形。
(证)设d=(a,b),e=(a,b+ax),f=(a+by,b)
d│a,d│bd│b+axd│e,即d≤e。
e│a,e│b+axe│(b+ax)-ax=be│d,即e≤d,故d=e。
从右向左化简。
【例(389,750)=(389,361)=……
又如(389,750)=(389,-27)=(389,27)=(119,27)=(-16,27)=1
(11)设a,b均为偶数,则(a,b)=2(a/2,b/2)
设a为偶数,b为奇数,则(a,b)=(a/2,b)
设a,b均为奇数,则(a,b)==。
【例,240),(108,249)和(357,123)。
(解)(108,240)=2(54,120)=2×
2(27,60)
(108,249)=(54,249)=(27,249)
(357,123)==(117,123)
==(117,6)=(117,3)=3
(12)设p是素数,则
【例,56,259)=7,(7,56,259,100)=1
(13)(a,b,c)=((a,b),c)
一般情形=
【例,90,91,14)=((48,90),(91,14))
=(6,7)=1
或(48,90,91,14)=((48,90),91,14)=(6,91,14)
=((6,91),14)=(1,1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数论 算法 教案 整数