平面几何的几个重要的定理梅涅劳斯定理Word文件下载.docx
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平面几何的几个重要定理--托勒密定理
托勒密定理:
圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).
即:
一、直接应用托勒密定理
例1如图2,P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点
(不与B、C重合),求证:
PA=PB+PC.
分析:
此题证法甚多,一般是截长、补短,构造全等三角形,均为繁冗.
若借助托勒密定理论证,则有PA·
BC=PB·
AC+PC·
AB,
∵AB=BC=AC. ∴PA=PB+PC.
二、完善图形借助托勒密定理
例2证明“勾股定理”:
在Rt△ABC中,∠B=90°
,求证:
AC2=AB2+BC2
证明:
如图,作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD,显然ABCD是圆内接四边形.
由托勒密定理,有
AC·
BD=AB·
CD+AD·
BC.①
又∵ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,AC=BD.②
把②代人①,得AC2=AB2+BC2.
例3如图,在△ABC中,∠A的平分线交外接∠圆于D,连结BD,求证:
AD·
BC=BD(AB+AC).
连结CD,依托勒密定理,
有AD·
BC=AB·
CD+AC·
BD.
∵∠1=∠2,∴BD=CD.
故AD·
BC=AB·
BD+AC·
BD=BD(AB+AC).
三、构造图形借助托勒密定理
例4若a、b、x、y是实数,且a2+b2=1,x2+y2=1.
求证:
ax+by≤1.
如图作直径AB=1的圆,在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB,
使AC=a,BC=b,BD=x,AD=y.
由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的.
据托勒密定理,有AC·
BD+BC·
AD=AB·
CD.
∵CD≤AB=1,∴ax+by≤1.
四、巧变原式妙构图形,借助托勒密定理
例5已知a、b、c是△ABC的三边,且a2=b(b+c),求证:
∠A=2∠B.
将a2=b(b+c)变形为a·
a=b·
b+bc,从而联想到托勒密定理,进而构造一个等腰梯形,使两腰为b,两对角线为a,一底边为c.
如图,作△ABC的外接圆,以A为圆心,BC为半径作弧交圆于D,连结BD、DC、DA.
∵AD=BC,
∴∠ABD=∠BAC.
又∵∠BDA=∠ACB(对同弧),∴∠1=∠2.
依托勒密定理,有BC·
CD+BD·
AC.①
而已知a2=b(b+c),即a·
c+b2.②
∴∠BAC=2∠ABC.
五、巧变形妙引线借肋托勒密定理
例6在△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,
将结论变形为AC·
BC+AB·
AC,把三角形和圆联系起来,可联想到托勒密定理,进而构造圆内接四边形.
如图,作△ABC的外接圆,作弦BD=BC,边结AD、CD.
在圆内接四边形ADBC中,由托勒密定理,
有AC·
CD
易证AB=AD,CD=AC,∴AC·
BC+BC·
AB=AB·
AC,
1.已知△ABC中,∠B=2∠C。
AC2=AB2+AB·
BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D,连结BD。
则CD=DA=AB,AC=BD。
由托勒密定理,AC·
BD=AD·
BC+CD·
AB。
2.已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
。
(第21届全苏数学竞赛)
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