共焦点的圆锥曲线离心率之间的一组性质Word文档格式.docx
- 文档编号:13697921
- 上传时间:2022-10-12
- 格式:DOCX
- 页数:214
- 大小:2.41MB
共焦点的圆锥曲线离心率之间的一组性质Word文档格式.docx
《共焦点的圆锥曲线离心率之间的一组性质Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《共焦点的圆锥曲线离心率之间的一组性质Word文档格式.docx(214页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
性质3:
若椭圆()与抛物线共焦点,椭圆另一个焦点为,是两曲线的一个交点,,,则有
=(为椭圆离心率).
性质3的证明类似于性质2,此处从略.
由上述性质1与性质2容易得到:
推论1:
若椭圆()与等轴双曲线共焦点,,是两曲线的一个交点,,,则=(为椭圆离心率).
推论2:
若抛物线与等轴双曲线共焦点,椭圆另一个焦点为,是两曲线的一个交点,,,则有=.
对几道数学问题的统一简捷的解答
(福建省厦门第一中学361003王淼生)
《数学通报》、《数学教学》中的数学问题栏目,几乎每题必做,其中有些试题确实难以入手,而且命题人给出的解答也较为复杂.惠特霍斯说过:
“一般地,解题之成功,在很大的程度上依赖与选择一种最适宜的方法.”由柯西不等式容易得到一个最简单的变式:
若、(、、、),则.
(1)
笔者经研究发现可以利用上述
(1)对其中数学问题给予简捷完美的解答.现整理成文,不当之处,肯请批评指正.
题1(《数学教学》数学问题384)在中,求证:
.
直接利用上述
(1)即可得证.
题2(《数学教学》数学问题488)已知,,,求证:
.
利用上述
(1)可得
题3(《数学教学》数学问题538)若、、均大于1,且,求证:
再一次利用上述柯西不等式的变式可得
题4(《数学教学》数学问题552)若、均大于1,为实数,求证:
注:
令就得到前苏联奥林匹克试题:
题5(《数学教学》数学问题859)若正数、满足;
,,求证:
.
显然,即.利用上述
(1)可得
构造(),显然该函数为增函数,故有
有趣的是:
让取不同的值就可以得到一系列漂亮的不等式,如:
(1)令时得到,这正是2003年江西省九江市竞赛试题;
(2)令时得到,这正是2007年福建省厦门第一中学竞赛试题;
(3)令就得到,这正是《中等数学》2012年第6期上的一个不等式,令人遗憾的是其给出的证明过程十分繁杂.
题6(《数学通报》数学问题912)若、、均为正锐角,且=1.证明:
.
由已知得到,利用上述
(1)可得
题7(《数学通报》数学问题1659)已知正数、、满足,求证:
由已知易得,利用上述
(1)可得
题8(《数学通报》问题1724)已知正数、、满足,求证:
评注:
客观地讲,上述这些数学问题难度较大,甚至无从入手,运用上述
(1)式可以得到极其简捷的解答,足以看出上述柯西不等式的变式功能强大,有兴趣的读者再去阅读《数学通报》、《数学教学》中的数学问题栏目,会发现还有很多题目运用上述
(1)轻松解决.因笔者功力浅薄,上述8个例子也仅仅是“沧海之一粟”,仅仅抛砖引玉,以期引起更多同行的研究,则是笔者本文的目的.
对一道韩国奥林匹克试题的简证与探究
文[1]对2009年韩国奥林匹克试题给出一种简证和推广.笔者对这道韩国试题颇感兴趣,本文利用最常见的、最不不起眼的“代数不等式”作为工具给出四种简证,并作一些肤浅探究.现整理成文,与同行交流,不当之处,肯请批评指正.
原题(2009年韩国奥林匹克竞赛试题):
已知、、是正数,求证:
.
(1)
分析:
我们不难将上述待证不等式适当恒等变形得到
为了简洁,可设,,,则上述不等式等价于:
若,证明:
.
(2)
以下来剖析证明上述
(2).
1四种简证
证法1:
由基本不等式的变式:
()可得
证法2:
利用最简单的代数不等式:
证法3:
利用简单的均值不等式:
可得
,,.
上述三式相加即可得证.
正如爱因斯坦所言:
“数学美,本质上终究是简单性”.
证法4:
由对称性不妨设,则有
,.
由排序不等式可得乱序和不小于反序和,即
(乱序和)(反序和).(3)
要证明
(2),只需证明下面(4),即
.(4)
要证明(4),只需要借助上述证法1、证法2、证法3任一种证法都可快速解决.
2一点思考
由排列知识可得共有种组合方式.排序不等式除同序和以及反序和之外,应该还有四个乱序和,上述(3)左边只是其中一个乱序和,也就是说,除上述(3)左边的乱序和之外,还有三个乱序和.对应地,这道韩国奥林匹克试题应该还有同胞的“三兄弟”,即
;
(5)
(6)
.(7)
将“四兄弟”,即
(1)、(5)、(6)、(7)对照发现:
原来“四兄弟”中
(1)最整齐、漂亮,也就是说
(1)最容易入手证明.如果这道韩国奥林匹克试题换成(5)、(6)、(7),尽管本质与
(1)完全相同,但“长相、模样”吓人,恐怕考生束手无策,由此说明韩国命题专家非常“温柔”,富有浓浓的人情味!
3一点探究
我们知道完整的排序不等式是:
同序和不小于乱序和不小于反序和,即在上述(3)基础上增加同序和,即得到
(同序和)
(乱序和)
(反序和).(8)
由此得到
(同序和).(9)
3.1(9)与第2届世界“友谊杯”试题的关系
我们熟知第2届世界“友谊杯”试题,原题如下:
已知、、是正数,则.(10)
由此说明上述(9)就是(10)在的情况下所得到的结论.
我们注意到:
.(11)
上述右边(即(11))正是1963年莫斯科数学奥林匹克试题,原来它们本质上是等价.
事实上,上述(11)正是文[3]第43页习题2-1第15题.笔者对上述(11)的研究心得:
《对一道课本习题多视角剖析、推广及应用》即将发表在《数学教育研究》(江苏大学)2013年第4期上.由此可见:
一道经典试题,如同一颗枝繁叶茂的参天大树,年复一年,花开花落,必然在其周围播下种子繁衍后代.
3.2(9)与第36届数学国际奥林匹克试题的关系
如果我们设,,代入上述(9)得到:
若,则.(12)
上述(12)正是大家熟悉的第36届数学国际奥林匹克试题,原题如下:
已知、、是正数,且.证明:
.
由此说明:
这道韩国奥林匹克试题就是第36届国际数学奥林匹克试题的加强.
笔者在文[2]中对这道第36届国际数学奥林匹克试题给出了21中证法并给予推广,仿照这21种证法,那么上述这道韩国奥林匹克试题还可以获得很多种证法.
4一点感悟
事实上,《数学通报》、《数学教学》、《数学通讯》(学生刊)等国内最优秀最权威的期刊上面的数学问题、数学征解上的题目有相当一部分就是这样编拟、命制出来的,即对一些熟知的著名的经典试题,尤其是历届国际奥林匹克试题、各个国家的历年的国家队集训试题、选拔试题进行变式、加强、引申、推广甚至多个经典命题嫁接,等等.当然这需要命制、编拟试题的作者对原来的著名试题真正吃准、弄透,毕竟真正把握这些经典试题需要深邃的数学目光与深厚的数学功底.其实上述(5)、(6)、(7)完全可以作为数学问题或数学征解的题目.
参考文献:
[1]查正开.一个竞赛不等式的简证和推广[J].福建中学数学,2012(12)47-48.
[2]王淼生.数学百题精彩千解[M].福州:
福建教育出版社,2009(128-133).
[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准实验教科(不等式选讲选修4-5)[M].
人民教育出版社,2007(43-44).
三角形中一个不等式题根的应用
我们知道在中有一个基本性质:
两边之和大于第三边,即
由均值不等式可得
我们把上述与三角形的边相关的不等式:
称为“题根”,这个题根看似“默默无闻”,实则功能不俗.本文拟从几个具体例子谈谈该题根的应用,权当抛砖引玉,以期更多的数学爱好者来挖掘其功能.
(注:
本文中出现的、、、、、、是指的三边长、外接圆半径、内切圆半径、三角形半周长、三角形面积).
例1.在中,证明:
注意到为三角形半周长并应用上述题根可得
例2.在中,求证:
设三角形外接圆的直径为1,由正弦定理可得,,,代入上述题根即可得证.
本题倘若直接从三角的角度去证明显得极其复杂,利用上述题根获得赏心悦目的妙解.事实上,例2可以看作上述题根的三角形式;
例1可以看作上述题根的代数等价形式.
例3.在中,证明:
由海伦公式并应用上述题根可得
例4.(2007年亚太地区数学奥林匹克试题)在中,求证:
由三元均值不等式并结合上述题根可得
例5.(第6届试题)在中,求证:
应用上述题根并将题根直接展开可得
移项即可得证.
例6.(2001年奥地利波兰数学奥林匹克试题)在中,求证:
原不等式变形(去分母)等价于
由三角形两边之和大于第三边,显然上述双向不等式左边成立;
而右边正是上述题根.
值得注意的是:
不等式的证明需要一定的代数变形、化简能力,这是最基本的要求.
例7.(著名的不等式)在中,求证:
由三角形面积公式并结合上述题根可得
,
上述这几个例子都是在已知三角形的前提下利用上述题根来解决问题,其实有些问题表面上看似与三角形毫无关系,但是经过适当的代数变形,问题可以转入三角形中(即构造三角形),巧妙借此题根简捷获解,请看:
例8.(2004年中国西部数学奥林匹克试题改编)求证:
对于任意正实数、、,都有
设,,(、、)则有,,.因此、、可以作为三角形的三边,于是所要证的原不等式右边等价于
由二元均值不等式可得:
上式的左边
因此只要证明:
上式正是第6届试题(即上述例5).
例9.(第41届试题)设、、均为正数,且,求证:
因,设,,(、、),则不等式等价于
显然上述三个因式、、中最多一个负数.
(1)若上述三个因式中只有一个为负数,则左边为负数,右边为正数,显然成立;
(2)若上述三个因式均为正数,则就是上述题根.
上述
(1)就是1983年瑞士数学奥林匹克试题.
例10.设、、均为正数,且,求证:
求证:
由已知条件可得所证不等式等价于
本题是安振平老师在文[3]中提出的,其实此处
(2)正是上述
(1),由此看出安老师就是依据上述第41届试题改编而来.
[1]邵明宪.也谈一组三角形不等式的证法[J].数学通讯,2010(5,下旬).
[2]胡典顺.一组三角形不等式的证明[J].数学通讯,2009(10,下旬).
[3]安振平.二十六个优美不等式[J].中学数学教学参考,2010(1—2上旬).
[4]王淼生.例谈一类换元法证明三角形不等式.高中数学理化,2012(1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 焦点 圆锥曲线 离心 之间 一组 性质