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定义2以为未知数的一元二次方程(3)称为二阶齐次欧拉方程
(2)的特征方程.
由此可见,只要常数满足特征方程(3),则幂函数就是方程
(2)的解.
于是,对于方程
(2)的通解,我们有如下结论:
定理1方程
(2)的通解为
(i),(是方程(3)的相等的实根)
(ii),(是方程(3)的不等的实根)
(iii).(是方程(3)的一对共轭复根)
(其中、为任意常数)
证明(i)若特征方程(3)有两个相等的实根:
,则
是方程
(2)的解,
且设,(为待定函数)也是方程
(2)的解(由于,即,线性无关),将其带入方程
(2),得
约去,并以、、为准合并同类项,得
.
由于是特征方程(3)的二重根,
因此
于是,得
即,
故.
不妨取,可得方程
(2)的另一个特解
所以,方程
(2)的通解为
(其中,为任意常数)
(ii)若特征方程(3)有两个不等的实根:
,是方程
(2)的解.
又不是常数,即,是线性无关的.
(iii)若特征方程(3)有一对共轭复根:
(),则
,是方程
(2)的两个解,
利用欧拉公式,有
,
显然,
和
是方程
(2)的两个线性无关的实函数解.
例1求方程的通解.
解该欧拉方程的特征方程为
其根为:
所以原方程的通解为
例2求方程的通解.
,,
例3求方程的通解.
2.2二阶非齐次欧拉方程的求解(初等积分法)
二阶非齐次欧拉方程:
.(4)
(其中,为已知实常数,为已知实函数)
为了使方程(4)降阶为一阶线性微分方程,不妨设
,,(5)
则方程(4)变为
即
(6)
根据韦达定理,由(5)式可知,,是一元二次代数方程
(3)
的两个根.
具体求解方法:
定理2若,为方程
(2)的两个特征根,则方程(4)的通解为
.(7)
证明因为,为方程
(2)的两个特征根,
于是方程(4)等价于方程(6),
令,
代入方程(6)并整理,得
和
解之,得方程(4)的通解为
由定理2知,只需要通过两个不定积分(当(7)式中的积分可积时)即可求得方程(4)的通解.为了方便计算,给出如下更直接的结论.
定理3若,为方程
(2)的两个特征根,则
(i)当是方程
(2)的相等的实特征根时,方程(4)的通解为
(ii)当是方程
(2)的互不相等的实特征根时,方程(4)的通解为
(iii)当是方程
(2)的共轭复特征根时,方程(4)的通解为
证明(ii)当是方程
(2)的互不相等的的实特征根时,
将方程
(1)的通解(7)进行分部积分,得
(8)
(iii)当是方程
(2)的共轭复特征根时,,
再由欧拉公式有
将其代入(8)式,整理可得方程(4)的通解为
(i)的证明和(ii)类似.
解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为,
特征根为,
所以由定理3,原方程的通解为
例2求方程的通解.
解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为
特征根为,,
例3求方程的通解.
在定理3中,若令,则得到二阶齐次欧拉方程
(2)的通解.
推论方程
(2)的通解为
(i),(是方程
(2)的相等的实特征根)
(ii),(是方程
(2)的不等的实特征根)
(iii).(是方程
(2)的共轭复特征根)
2.3三阶非齐次欧拉方程的求解(常数变易法)
三阶非齐次欧拉方程:
.(9)
(其中,,为常数)
(9)对应的齐次方程为.(10)
特征方程为.(11)
定理4设是方程(11)的根,是方程
的根,则(9)的通解为
.(12)
证明根据条件(为任意常数)是方程(10)的解.
设是方程(9)的解(其中是待定的未知数),
将其代入方程(9),整理得
(13)
因为是(11)的根,则
于是(13)式化为
(14)
这是以为未知函数的二阶欧拉方程.
设为(14)对应的齐次方程的特征方程,(15)
的根,则
从而.
故方程
(1)的通解为
定理5设是方程(11)的根,是方程(15)的根,则
(i)当是方程(11)的单实根,是方程(15)的单实根,则(9)的通解为(ii)当是方程(11)的单实根,是方程(15)的单虚根,则(9)的通解为(其中,)
(iii)当是方程(11)的单实根,是方程(15)的重实根,则(9)的通解为
(iv)当是方程(11)的三重实根,方程(15)变为,有,则(9)的通解为
证明(i)因为是方程(15)的单实根,得(14)的通解为
则(9)的通解为
(ii)因为是方程(14)的单虚根,此时方程(15)有一对共轭虚根
得(14)的通解为则(9)的通解为
(其中,)
(iii)因为是方程(15)的重实根,得(9)的通解为
(iv)当是方程(10)的三重实根(),方程(15)变为,有,将,代入(12)式得
对上式分部积分得(9)的通解为
例1求三阶欧拉方程的通解.
解原方程对应的齐次方程为
其特征方程为
解得其特征根为,,,
取,
将,,,代入方程(15),得
解得
或,
利用定理5(i)的通解公式有
(其中,,为任意常数)
例2求三阶欧拉方程的通解.
从而解得特征单实根为
将,,代入方程(15),得到
解得.
令,则,,
利用定理5(ii)的通解公式有
2.4阶齐次欧拉方程的求解(求形如的解)
令是方程
(1)的解,将其求导(需要求出、、)代入方程
(1),并消去,得
.(16)
定义3以为未知数的一元次方程(16)称为阶齐次欧拉方程
(1)的特征方程.
由此可见,如果选取是特征方程(16)的根,那么幂函数就是方程
(1)的解.于是,对于方程
(1)的通解,我们有如下结论:
定理6方程
(1)的通解为
(其中,,为任意常数),且通解中的每一项都有特征方程(16)的一个根所对应,其对应情况如下表:
方程(16)的根
方程
(1)通解中的对应项
单实根:
给出一项:
一对单共轭复根:
给出两项:
重实根:
给出项:
一对重共轭复根:
例1求方程的通解.
整理,得
其根为
,,
(其中,,,为任意常数)
解该欧拉方程的特征方程为,
,(即一对二重共轭复根),
所以原方程的通解为.
3.结束语
从前面的讨论过程来看,和教材中的变量变换法相比,本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是,本文中的定理和例题都是在范围内对齐次欧拉方程求解的,如果要在范围内对其求解,则文中的所有都将变为,所得的结果和范围内的结果相似.
4.致谢
经过这好几个月忙碌的学习跟工作,本次毕业论文的写作已经接近尾声了,但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.
首先,自己要有很好的专业知识的储备,这也是写作的基础.
其次,自己要有严谨的思维逻辑.
再次,自己要善于思考,遇到不懂得问题就要勤于思考,查资料,问老师.
最后,自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程,在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程,但我们不能因此就放弃,而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.
在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多,但在我做毕业论文阶段,他都给予了我悉心的指导,细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持,此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外,他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习,并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导,为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康,工作顺利!
5、参考文献
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高等教育出版社,2006:
142-144.
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高等教育出社,1999:
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高等教育出版社,2003:
10-11.
[4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报[J],2009,11
(2):
143-144.
[5]胡劲松,郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],2005,21
(2):
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[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报[J],2004,18
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[8]冀弘帅.认识伟大的数学家----欧拉.数学爱好者[J],2006,10:
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[9]卓越科学家
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