第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题(七年级).doc
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第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题
(七年级)
一、选择题(每小题5分,共30分.以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的.)
1.以下四个论断中不正确的是()
A.在数轴上,关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数
B.两个有理数互为相反数,则它们在数轴上对应的两个点关于原点对称
C.两个有理数不等,则它们的绝对值不等
D.两个有理数的绝对值不等,则这两个有理数不等
2.我们从不同的方向观察同一物体时,可能看到不同的图形.则从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的是()
A.
B.
C.
D.
3.在代数式中,x与y的值各减少25%,则该代数式的值减少了()
A.50%B.75%C.D.
4.如果,且.则下列说法中可能成立的是()
A.a、b为正数,c为负数B.a、c为正数,b为负数
C.b、c为正数,a为负数D.a、c为负数,b为正数
第5题图
5.如图,若AB∥CD,,
则等于()
A.50°
B.40°
C.30°
D.20°
6.商家获得的利润按以下公式计算:
利润=售价-进价-售价×税率.若税率由b%调为c%,且商品的进价和利润都未改变,则商品的售价是原来的()
A.倍B.倍C.倍D.倍
二、填空题(每小题5分,共30分。
)
7.计算:
=.
8.关于x的方程的解是.
9.方程|2015x-2015|=2015的根是.
10.若,则的值等于.
11.若P是质数,且P+3整除5P,则的末位数是.
12.时钟的分针和时针在下午4点至5点成45°角的时刻是.
三、解答题(每小题15分,共60分,写出推理、运算的过程及最后结果.)
13.小红和小明在研究绝对值的问题时,碰到了下面的问题:
“当式子取最小值时,相应的x的取值范围是,最小值是”.
小红说:
“如果去掉绝对值问题就变得简单了。
”小明说:
“利用数轴可以解决这个问题。
”
他们把数轴分为三段:
,和,经研究发现,当时,值最小为3.
请你根据他们的解题解决下面的问题:
(1)当式子取最小值时,相应的x的取值范围是,最小值是.
(2)已知,求相应的x的取值范围及的最大值。
写出解答过程.
14.已知O为直线AB上的一点,∠COE是直角,OF平分∠AOE.
(1)如图1,若∠COF=34°,则∠BOE= ;若∠COF=n°,则∠BOE= ;∠BOE与∠COF的数量关系为 .
(2)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时,
(1)中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立?
如成立请写出关系式;如不成立请说明理由.
(3)在图3中,若∠COF=65°,在∠BOE的内部是否存在一条射线OD,使得2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半?
若存在,请求出∠BOD的度数;若不存在,请说明理由.
第14题图
15.(本小题满分15分)
老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观.老师乘一辆摩托车,速度为25千米/小时.这辆摩托车后座可带乘一名学生,带人后速度为20千米/小时.学生步行的速度为5千米/小时.请你设计一种方案,使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时.
16.有依次排列的3个数:
3,9,8,对任相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:
3,6,9,,8,这称为第一次操作;做第二次同样的操作后也可产生一个新数串:
3,3,6,3,9,,,9,8,继续依次操作下去,问:
从数串3,9,8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题
七年级参考答案
一、选择题
1.D2.C3.C4.C5.B6.A
二、填空题
7.8.49.10.-311.8
12.下午4点分或4点30分
三、解答题
13.
(1)和8;
(2)当,时
当,时
当,时
所以时,有最大值.
14.
(1)∵∠COE是直角,∠COF=34°,
∴∠EOF=90°﹣34°=56°,
由∵OF平分∠AOE.
∴∠AOE=2∠EOF=112°,
∴∠BOE=180°﹣112°=68°;
当∠COF=n°,
∴∠EOF=90°﹣n°,
∴∠AOE=2∠EOF=180°﹣2n°,
∴∠BOE=180°﹣(180°﹣2n°)=2n°,
所以有∠BOE=2∠COF.
故答案为:
68°,2n°,∠BOE=2∠COF;
(2)∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立.理由如下:
设∠COF=n°,如图2,
∵∠COE是直角,
∴∠EOF=90°﹣n°,
又∵OF平分∠AOE.
∴∠AOE=2∠EOF=180°﹣2n°,
∴∠BOE=180°﹣(180°﹣2n°)=2n°,即∠BOE=2∠COF;
(3)存在.理由如下:
如图3,∵∠COF=65°,
∴∠BOE=2×65°=130°,
∠EOF=∠AOF=90°﹣65°=25°,
而2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半,
∴2∠BOD+25°=(130°﹣∠BOD),
∴∠BOD=16°.
15.要使师生三人都到达博物馆的时问尽可能短,可设计方案如下:
设学生为甲、乙二人.乙先步行,老师带甲乘摩托车行驶一定路程后,让甲步行,老师返回接乙,然后老师带乘乙,与步行的甲同时到达博物馆.5分
设老师带甲乘摩托车行驶了x千米,用了小时,比乙多行了
这时老师让甲步行前进,而自己返回接乙,遇到乙时,用了
乙遇到老师时,已经步行了
离博物馆还有
要使师生三人能同时到达博物馆,甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同,则有
13分
即甲先乘摩托车24千米,用时1.2小时,再步行9千米,用时1.8小时,共计3小时.
因此,上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时.15分
16.一个依次排列的n个数组成一个n一数串:
,2分
依题设操作方法可得新增的数为:
所以,新增数之和为:
6分
原数串为3个数:
3,9,8
第1次操作后所得数串为:
3,6,9,,88分
根据(*)可知,新增2项之和为:
第2次操作后所得数串为:
3,3,6,3,9,,,9,810分
根据(*)可知,新增2项之和为:
12分
按这个规律下去,第100次操作后所得新数串所有数的和为:
.15分
7
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