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由超始位置指向终止位置的有向线段,就是位矢的增量,即
位移是矢量,只与始、末位置有关,与质点运动的轨迹及质点在其间往返的次数无关。
路程是质点在空间运动所经历的轨迹的长度,恒为正,用符号表示。
路程的大小与质点运动的轨迹开关有关,与质点在其往返的次数有关,故在一般情况下:
但是在时,有
(3)速度与速率:
平均速度
平均速率
平均速度的大小(平均速率)
质点在时刻的瞬时速度
质点在时刻的速度
则
式中,分别称为速度在x轴,y轴,z轴的分量。
式中是轨道切线方向的单位矢。
位矢和速度是描述质点机械运动的状态参量。
(4)加速度:
加速度是描述质点速度变化率的物理量。
式中,,,分别称为加速度在x轴、y轴,z轴的分量。
在自然坐标中
式中,是加速度a是轨道切线方向和法线方向的分量式。
3、运动学中的两类问题(以直线运动为例)
(1)已知运动方程求质点的速度、加速度,这类问题主要是利用求导数的方法,如已知质点的运动方程为
则质点的位移、速度、加速度分别为
(2)已知质点加速度函数
以及初始条件,建立质点的运动方程,这类问题主要用积分方法。
设初始条件为:
t=0时,v
若a,则因a,
所以
即
若,则因,
所以,
求出,再解出,即可求出运动方程。
若,是因,有
4、曲线运动中的两类典型
抛体运动
若以抛出点为原点,水平前进方向为轴正向,向上方为轴正向,则
(1)运动方程为
(2)速度方程为
(3)在最高点时,故达最高点的时间为
所以射高为
飞得总时间
水平射程
(4)轨道方程为
圆周运动
(1)描述圆周运动的两种方法:
线量
角量
线量与角量的关系:
(2)匀角加速(即=常数)圆周运动:
可与匀加速直线运动类比,故有
(3)匀变速率(即常数)的曲线运动:
以轨道为一维坐标轴,以弧长为坐标,亦可与匀加速直线运动类比而有
(4)匀速率圆周运动(即)
在直角坐标系中的运动方程为:
轨道方程为:
5、刚体定轴转动的描述
(1)定轴转动的角量描述:
刚体在定轴转动时,定义垂直于转轴的平面为转动平面,这时刚体上各质点均在各自的转动平面内作圆心在轴上的圆周运动。
在刚体中任选一转动平面,以轴与转动平面的交点为坐标原点,过原点任引一条射线为极轴,则从原点引向考察质点的位矢与极轴的夹角即为角位置,于是一样可引入角速度,角加速度,即对质点圆周运动的描述在刚体的定轴转动中依然成立。
(2)刚体定轴转动的运动学特点:
角量描述共性——即所有质点都有相同的角位移、角速度、角加速度;
线量描述个性——即各质点的线位移、线速度、线加速度与质点到轴的距离成正比。
作定轴转动的刚体同样存在两类问题,即已知刚体定轴转动的运动方程求角速度、角加速度;
已知刚体定轴转动的角加速度的函数及初始条件,求运动方程。
6、相对运动的概念
(1)只讨论两个参考系的相对运动是平动而没有转动的情况。
设相对于观察者静止的参考系为S,相对于S系作平动的参考系为,则运动物体A相对于S系和系的位矢、速度、加速度变换关系分别为:
(2)上述变换关系只在低速(即)运动条件下成立,如果系相对于S系有转动,则速度变换关系亦成立,而加速度变换关系不成立。
质点动力学
牛顿运动定律
第一定律(惯性定律):
任何物体都保持静止的或沿一直线作匀速运动的状态,直到作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止。
原来静止的物体具有保持静止的性质,原来运动的物体具有保持运动的性质,因此我们称物体具有保持运动状态不变的性质称为惯性。
一切物体都具有惯性,惯性是物体的物理属性,质量是惯性大小的量度。
惯性大小只与质量有关,与速度和接触面的粗糙程度无关。
质量越大,克服惯性做功越大;
质量越小,克服惯性做功越小。
第二定律:
运动的变化与所加的动力成正比,并且发生在这力所沿的直线方向上
即,
,
当物体低速运动,速度远低于光速时,物体的质量为不依赖于速度的常量,所以有
,
这也叫动量定理。
在相对论中F=ma是不成立的,因为质量随速度改变,而F=d(mv)/dt依然使用。
在直角坐标系中有,
,,
在平面曲线运动有,
第三定律:
对于每一个作用总有一个相等的反作用与之相反,或者说,两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等的,而且指向相反的方向,即
适用范围:
(1)只适用于低速运动的物体(与光速比速度较低)。
(2)只适用于宏观物体,牛顿第二定律不适用于微观原子。
(3)参照系应为惯性系。
常见的几种性质力
万有引力
存在与宇宙万物之间的力,它使行星围绕太阳旋转,万有引力大小:
F=G×
m1m2/r^2,其中G为万有引力常量。
重力
地球有一种奇异的力量,它能把空中的物体向下拉,这种力叫做“重力”。
重力的大小叫重量。
如果同样的物体到了北极或南极,它的重量也将发生改变。
重力是地球与物体间万有引力的一个分力,方向指向地心,另一个分立则为物体随地球一起旋转时的向心力。
弹力
物体发生弹性形变时产生的力。
摩擦力
相互接触的两个物体,当他们要发生相对运动时,摩擦面就产生阻碍运动的力。
摩擦力一定要阻碍物体的相对运动,并产生热。
摩擦力分为静摩擦力、活动摩擦力和湿摩擦力。
非惯性系与惯性力
质量为m的物体,在平动加速度为a0的参照系中受的惯性力为
在转动角速度为w的参照系中,惯性离心力为
功和能
功的定义
质点在力F的作用下有微小的位移dr(或写为ds),则力作的功定义为力和位移的标积,即
对质点在力作用下的有限运动,力作的功为
在直角坐标系中,此功可写为
恒力的功:
保守力的功:
功率:
动能定理(惯性系中)
质点动能定理:
合外力对质点作的功等于质点动能的增量。
质点系动能定理:
系统外力的功与内力的功之和等于系统总动能的增量。
机械能:
E=Ek+Ep
势能:
保守力功等于势能增量的负值:
物体在空间某点位置的势能:
万有引力势能:
,为零势能参考位置
重力势能:
, h=0处为势能零点
弹簧弹性势能:
以弹簧的自然长度为势能零点
功能原理:
即:
外力的功与非保守内力的功之和等于系统机械能的增量。
机械能守恒定律
外力的功与非保守内力的功之和等于零时,系统的机械能保持不变。
冲量和动量
称为在时间内,力对质点的冲量。
质量与速度乘积称动量
质点的动量定理
物体在运动过程中所受合外力的冲量,等于该物体动量的增量
质点的动量定理的分量式:
质点系的动量定理:
质点系的动量定理分量式:
动量定理微分形式,在时间内:
动量守恒定理
当系统所受合外力为零时,系统的总动量将保持不变,称为动量守恒定律
动量守恒定律分量式:
质点的角动量:
力矩:
质点的角动量定理:
质点的角动量守恒定律:
质点系的角动量:
质点系的角动量定理:
质点系的角动守恒定律:
若,则恒矢量
刚体力学基础
刚体:
在受外力作用时形状和体积不发生改变的物体。
(1)刚体是固体物件的理想化模型。
(2)刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做刚体的一个质元。
(3)刚体这个质点系的特点是:
在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
自由度:
完全确定一个物体的空间位置,所需要的独立坐标数目。
1、质点的自由度
在空间自由运动的质点,它的位置用三个独立坐标确定。
当质点的运动受到约束时,自由度会减少。
2、质点系的自由度
N个自由质点组成的指点系,每个质点的坐标各自独立,其自由度为3N。
3、刚体的转动自由度
刚体是一种特殊的指点系,运动过程中各质元之间的相对位置总是保持不变。
确定刚体质心的空间位置需要3个坐标变量x,y,x,有3个平动自由度(t=3);
确定刚体转轴的方向,需要2个坐标变量,确定刚体绕转轴转过的角度,需要1个坐标变量,一共具有3个转动自由度(r=3)。
最终,刚体位置的确定共需要6个自由度:
i=t+r=6。
刚体的运动形式:
1、平动:
如果刚体在运动中,连结体内任意两点的直线在空间的指向总保持平行,这样的运动就叫平动。
刚体平动时,刚体内各质元的运动轨迹都一样,而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此,在描述刚体的平动时,可以用一点的运动来代表,通常就用刚体的质心的运动来代表整个刚体的平动。
最多有3个自由度。
2、转动:
定轴转动:
刚体的各质元均做圆周运动,而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上的运动,称定轴转动。
这条固定的直线叫转轴。
定轴转动最多有1个转动自由度。
定点转动:
刚体绕某一固定点,但转轴方向不固定的运动。
确定转轴的方向,需要2个坐标量;
确定刚体绕转轴转过的角度,需要1个坐标量,一共具有3个转动自由度。
3、平动和转动的结合:
刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的结合。
如车轮的进动。
最多有6个自由度。
刚体定轴转动的运动学描述
刚体绕某一固定轴转动时,各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动,且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同。
刚体上各质元的线速度、加速度一般是不同的,但由于各质元的相对位置保持不变,所以描述各质元运动的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一样的。
因此描述刚体的运动时,用角量最为方便。
根据这一特点,常取垂直于转轴的平面为参考系,这个平面称转动平面。
角位置:
角位移矢量:
,方向与转动方向成右手螺旋法则。
角速度矢量:
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