多元多次方程组.docx
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多元多次方程组
淺談多元多次方程組
李源順
'、前言
在中學時期,求方程式是代數學上面的重要課題。
在一元方程式方面,我們在中學以前就學會了利用公式求一元一次、二次方程式的解,也知道它們的圖形是直線或抛物線。
圖形是曲線的一元三次以上的方程式方面,說不定有些同學也知道一元三次方程式也有公式解;一元四次以上的方程式,可以因式分解的,我們可以把它因式分解以後,再求出它的解;不能因式分解的,雖然沒有學到公式解,但我們學了利用牛頓法求它的近似根。
在多元方程組方面,我們學會了利用加減消去法、代入消去法、甚至矩陣的方法,求多元一次方程組的解,而且也了解它的幾何義意,例如,三元一次方程組的解是空間中平面的交點。
對於多元多次方程組,我們則沒有學到如何求出它的解,或也不了解它的解所隱含的義意。
現在我們將帶您了解如何解多元多次方程組。
此外,我們將教您如何利用數學軟體Mathematica以及Maple求多元多次方程組的解。
、理想(ideal)
由於方程式和多項式關係非常密切(將多項式加上“=0”變成方程式)。
所以,為了了解多元多次方程組的問題,我們可以考慮多項式的問題,因而必須重新定義一個多元多次多項式每個單項的排列次序(order),即單項式的大小。
一般定義的方法有二種:
定義:
定義兩個單項式的大小順序為X1>X2>...>Xn
再者,同一未知數定義xm41>xm>...>x2>X>1
我們稱:
■>■,
這種次序大小稱為
Lexicographicorder(簡稱lexorder)
例如,X1>X200,X:
X2Axf
定義:
-=Xi1X22...Xn^,|:
|=',:
「iN{0},i=1,2,..,n
i丄
若I:
1>1:
|,或者(I-1=|:
|,且Xi>X2>...>Xn)
我們就稱:
•>1,稱為Gradedlexorder簡稱grlexorder)
此時,xi
不管是用那一種次序,我們稱一個多元多次多項式g的項中次序最高的為
領導項(leadingterm),簡寫為LT(g),它的係數稱為領導係數(leadingcofficient),簡寫為LC(g),而LM(g)=LT(g)/LC(g)為領導項中不含係數的變數。
我們都知道,一個(多元多次)方程式,若將它乘以非零的常數倍,其解不變,例如,F1:
x+y+1=0的解與3F1:
3x+3y+3=0的解相同,並且把兩者相加,它們的解也不會變。
雖然這種做法對我們求解沒有太大的幫助,但它的觀念,在抽象代數上對我們引進一個"理想"(ideal)的觀念卻非常有幫助。
定義:
C),k[x1,X2,..,Xn]為係數屬於k
N{0},i=1,2,..,l,j=1,2,..,n}
設k是一個體(field)(可以想成k是一個複數的n元(X1,X2,..,Xn)多次多項式所成的集合,即
l
k[x1,X2,..,Xn]={'aiX<11X2,2...Xnin|a^k,:
j
i吕
設Ik[X1,X2,..,Xn]。
若I滿足下列條件,我們稱I是一個理想(ideal)
(1)0I
⑵若f,gI,則f+gI
⑶若fI,且hk[x1,X2,..,Xn],則hfI
定義:
設
冷,..,xn)=0
冷,..,xn)=0
f1(X1
f2(X1
此時,因為hi,h2,…,hm有無限多個可能性,所以理想Vfi,f2,…,fm>內會有無限個多項式。
由於<f1,f2,...,fm>是由f1,f2,...,fm所衍生成的,所以,V(f1,f2,…,fm)也是原方程組f1=0,f2=0,…,fm=O的解。
這個意思好像是說,
h(x+y+1)+k(x-y-1)=0,h,k^R(它的幾何意義是:
所有過二直線交
點的直線)的解,和
x+y+仁0
x-y-1=0
的解相同。
三、Groebner基底
雖然類似上述的理想都會有無限多個多項式,但它總是可由有限個的多項式所生成(這是所謂Hibertbasis定理--直觀的說,它就是由仃化,...仏所生成)。
既然,一個理想可以由有限個多項式生成,我們便試著想找一組好”的多
項式來表示這一個理想,且這一組多項式能夠給我們很好的訊息,使我們能順利的解出原先的方程組。
這個觀念就好像我們要解
x+y+1=0….⑴
x-y-1=0■…
(2)
我們可以把⑴式和
(2)式相加得
2x=0
此時原方程組的解和
x+y+仁0
2x=0
的解相同,而變換後的方程組能很快的算出x和y。
在討論上述問題時,我們想到一個多項式都是由幾個單項式組成。
因此,我們先著手討論由一些(可能無限多個)單項式所生成的理想,即
I=<X,1x;2...x/|j€A>
其中:
jiN{0},i=1,2,..,n,而A是一個(有限或無限)集合
我們可以證明出來(證明省略),一個由單項式生成的理想總是由有限個單項式所生成。
藉由單項式的觀念,每一個多項式fi都有一個領導項LT(fi),我們便可定義出所謂的Groebner基底。
設I是一個理想,若有一組多項式gi,g2,...,gs,使得
則這組多項式{gi,g2,...,gs},稱為I的Groebner基底
假使{gi,g2,...,gs}是I的Groebner基底,我們可以證明出來
現在我們就來看看這個Groebner基底是怎麼算出來的。
四、Groebner基底的演算法
Groebner基底的算法說穿了其實就是單兀多次多項式除法的推廣。
定理:
(除法定理)
設f1,f2,…,fm-k[x1,X2,..,Xn]是一個多元多次多項式組,fk[xi,X2,..,Xn]是另一個多元多次多項式,則f可以表成
f=aifi+a2f2+...+amfm+r
其中,ai,r^k[xi,X2,..,Xn],
且r=0或r不能為LT(fi),LT(f2),...,LT(fm)中的任何一個所整除。
(證明省略)
例如
F=x2+y2+z2被Fi:
X2+y+z-i=0,F2:
X+y2+z-i=0,F3:
X+y+z2-i=0來除的話(用lexorder),
F=Fi+0F2+0F3+(y2-y+z2-z+i),或F=0Fi+(x-y2-z+i)F2+0F3+(y4+2y2z-y2+2z2-2z+i),或F=0Fi+0F2+(x-y-z2+i)F3+(2y2+2yz2-2y+z4-z2+i)
因此,這種除法並不唯一,但除式若是一個Groebner基底,則餘式會唯一。
定理:
設I是一個理想,而G={gi,g2,...,gs}是這個理想I的Groebner基底,而fk[xi,X2,..,xn],則f被G除的餘式會唯一,即
存在唯一的r.二k[xi,X2,..,Xn],使得
(1)r不能為LT(g;),LT(g2),…丄T(gm)中的任何一個所整除
n
(2)f=£higi+r,其中hek[x1,x2,..人]
特別是,若「I,若且唯若餘式r=0
(證明省略)
再者,我們若
其中f1,f2,…,fmk[x;,X2,..,Xn]
2,..,xn]0
定義:
設H=
,-F
我們以f表示多項式f被H所的餘式,fk[x1,x
定義:
設f,g£k[x1,X2,..人],而x;%2...x}為LM(f)與LM(g)的最低公倍式,
疋義
S(f,g)=LT(f)LT(g)
(意思是把f和g的最高次項消掉)
則我們發現有下面的性質:
定理:
設I是一個理想,而G={g1,g2,...,gs}是I的Groebner基底,若且唯若
G
s(gi,gj)=0,vj
(證明省略)J
這個意思是說,假如G={g1,g2,...,gs}是I的Groebner基底,則在理想I中把基底的任兩個多項式的最高次項消掉而得的多項式,會被G所整除。
我們利用這個技巧把一組多項式除了以後,若餘式不等於0,那把餘式加
進來變成基底的一個多項式,直到不管再怎麼除,餘式都會等於0,此時,我
們便得到這組多項式所生成的理想的Groebner基底了。
例如,考慮k[x,y],而多項式的順序用grlexorder,設f1=x3-2xy,
f2=x2y-2y2+x,I=
33
因為LT(s(f1,f2))=LT(X3y(x3-2xy)-X2y(x2y-2y2x))=LT(-x2)
xxy
=-x2"LT(fJ,LT(f2)>
所以,{fi,f2}不是一個Groebner基底。
因此,我們想利用上述方法找出一個Groebner基底。
首先,我們必須要有s(fi,f2)=-x2€|,
所以,我們令f3=-X2,因此我們得到一個新的集合F=(f1,f2,f3)
F
此時,s(fi,f2)=f3,所以,s(f1,f2)=0
x3x3F
但s(fi,f3)=-7(x3-2xy)-(—)(-x2)=-2xy,但s(f「f3)=-2xy^0
X-x
因此,我們再加入f4=-2xy,得到F=(f1,f2,f3,f4)
FF
此時,S(f「f2)=S(fi,f3)・=0
F3122
而s(f「f4)=y(x-2xy)-(_2x)(-2xy)=-2xy=y
因此,珀」4广=0,
而S(f2,f3)=(x2y-2y2+x)-(-y)(-x2)=-2y2+x
F2
但是s(f2,f3)=-2y+x工0
因此,我們再加入f5=-2y2+x,得到F=(f1,f2』3』4』5)
F—
此時,我們發現s(fi,fj)=0,-仁i:
:
:
心5
因此,我們得到I的Grobner基底為{f1,f2仏匚,f5}
即{x3-2xy,x2y-2y2+x,-x2,-2xy,-2y2+x}
但是這種計算Groebner基底的方法太過煩雜,因此,我們試著尋求比較好的一組Groebner基底。
我們知道,假如G是I的一組Groebner基底,那麼
所以,G-{p}也是一組Groebner基底,亦即可將原先Groebner基底內的多項式p拿掉。
因此,我可以定義minimalGroebner基底。
若G是多項式理想I的一組Grobner基底,且滿足下列條件,則稱G是I的一組minimalGroebner基底:
(i)LC(p)=1,-pG(即基底的多項式,領導係數都為1)
(ii)LT(p)-
以上例為例
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