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(4)y=x2y2,
()
习题7.2
1.解微分方程
⑴虫=L
dxx
(2)
曳二;
1-y2
dx1-x2
十y2)dx=0.
⑶y'
=e2x_y.(4)y(1-x2)dy+
(5)x2y,+xy=y,yx」.=4.
2.解微分方程
dy
xy-.
⑴(x+y)y'
+(x—y)=0.
(2)y2+x2业
3.解微分方程
⑴yTy=e..
(2)y'
cosx+ysinx=1.
((A))y=(4x—1)X.((B))y=2x+1.
((C))y2_3y+2=0.((D))fsinxdx=0.
+3y=0.((B))
((C))3y2—2x+y=0.((D))
2
(3)微分万程(y)+3xy=4sinx的阶数为(
-d-^y=3x+sinx.
(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=0.
)
((A))2.((B))3.((Q)1.
(1)
xy=2y,y=5x.
——siny=0,dy
y=arccosxC
(4)y=xy,
1
y二一
x
⑴出」
y2)dx=0.
⑶y,=e2x-y.(4)y(1—x2)dy十x(1
(5)x2y.+xy=y,yx[=4.
xydy.
(1)(x+y)y'
+(x—y)=0.
(2)y2+x2电
⑴yy=e"
.
⑶dy”二dxxx
yx/=3・
(4)
dy_ydxxy2
⑸y'
xcosy1sin2y
习题7.3
1.解下列微分方程
⑴y=x.
(2)y"
=3dy,yx=o=1,y'
xT=2.
(3)y“—y'
=x.
(4)xy*+y'
=0.
⑸yy"
-(y)2-y'
=0.
⑹yyf=y\yx^=1,九=1・
_9y=0.
2.解下列微分方程
(1)y"
+y'
—2y=0.
(3)y*+4y,+4y=0.
⑸4y*+4y,+y=0,丫、9=2,y\^=0.
(2)2y-3y-y=2ex.
3.解下列微分方程
(1)y“—2y,—3y=3x+1.
...2x6.33
⑶y-10y9y=e,yxi=-,yxj^•
(4)y"
+y2y=8sin2x.(5)y*+y=sinx.
⑹y"
+y+sin2x=0,yx』=1,y'
x5=1-
习题7.4
1.一条曲线通过点P(0,1),且该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为3x,求这曲线的方程.
1414
2.生物活体含有少量固定比的放射性C,其死亡时存在的C量按与瞬时存量成比例的速
率减少,其半衰期约为5730年,在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时,若测得墓中木炭14C含
量为原来的77.2%,试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间.
3
已知物体在10s时与原点相距100m,
.作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比,在20s时与原点相距200m,求物体的运动规律.
污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化,设k为比例系数,且Q(0)=Q0,求
k
该湖泊的污染物白^化规律,当V=0.38时,求99%污染物被清除的时间.
V
5.一质量为m的质点从水面由静止状态开始下降,所受阻力与下降速度成正比,求质点下降深度与时间t的函数关系.
6.一弹簧挂有质量为2kg的物体时,弹簧伸长了0.098m,阻力与速度成正比,阻力系数
N=24N/(m/s).当弹簧受到强迫力f=100sin10t(N)的作用后,物体产生了振动.求振动规律,设物体的初始位置在它的平衡位置,初速度为零.
复习题七
一、选择题
1.微分方程y'
2十y'
y"
3+xy4=0阶数是()
(A)1;
(B)2;
(C)3;
(D)4.
.下列函数中,可以是微分方程y"
+y=0的解的函数是()
3.下列方程中是一阶线性方程的是()
(A)(y-3)lnxdx-xdy=0;
(B)或=-y——
dx1-2xy
(C)xy'
=y+xsinx;
(D)y+y—2y=0.
4.方程y“-4y'
+3y=0满足初始条件yx卫=6,丫’匕=10特解是()
(A)y=3ex+e3x;
(B)y=2ex+3e3x;
(C)y=4ex+2e3x;
(D)y=C1ex+C2e3x.
5.在下列微分方程中,其通解为y=Cicosx+Czsinx的是()
(A)y"
_y*=0;
(B)y"
=0;
(C)y"
+y=0;
(D)y"
_y=0.
...2
6.求微分方程y"
+3y'
+2y=x的一个特解时,应设特解的形式为()
2222.2..
(A)ax;
(B)ax+bx+c;
(C)x(ax+bx+c);
(D)x(ax+bx+c).
7.求微分方程y“-3y'
+2y=sinx的一个特解时,应设特解的形式为()
(A)bsinx;
(B)acosx;
(C)acosx+bsinx;
(D)x(acosx+bsinx).
二、填空题
9.微分方程x电■=y+x2sinx的通解是.dx
10.微分方程y“+3y=0的通解是.
11.微分方程y"
+4y'
+5y=0的通解是.
12.以y=C1xex+C?
ex为通解的二阶常数线性齐次分方程为.
13.微分方程4y“+4y'
+y=0满足初始条件y、y=2,y=0的特解x^ox^o
是.
14.微分方程y“—4y'
+5y=0的特征根是.
15.求微分方程y"
+2y'
=2x2-1的一个特解时,应设特解的形式为
..2..2c
16.已知y〔=e及y2=xe都是微分方程y"
—4xy'
+(4x—2)y=0的解,则此方程的
通解为.
三、计算题
17.求下列微分方程的通解
dyxy
(1)■-=-
(2)y+y=cosx.
dx1x
c、2,,2
(3)secxtanydx+secytanxdy=0.
(6)y*+5y.+4y=3—2x.
18.求下列微分方程满足所给初始条件的特解
(1)cosysinxdx-cosxsinydy=0,
—5y'
+6y=0,yx^=1,y\^=2.
4y16y15y=4e
11
yx^=3,yxq二一万•
⑷2y"
+5y'
=29cosx,y*卫=0,y[卫=1•
20.当一人被杀害后,尸体的温度从原来的379按牛顿冷却律开始变凉,设3小时后尸体
温度为31rC,且周围气温保持20c不变.
(1)求尸体温度H与时间t(h)的函数关系,并作函数草图.
(2)最终尸体温度将如何?
(3)若发现尸体时其温度是25七,时间为下午4时,死者是何时被害的?
21.设有一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致.大小与时间成正比(比例系数为4)的力作用于它,此外还受一与速度成正比(比例系数为k2)的
阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.
dyyx1dxxx
yxg=3・
(4)dy-dxxy
、.1
(5)y=
xcosysin2y
⑴y"
=x2.()y=3弋丫,Yx^=1,y\o
(3)y“_y'
⑸yy"
-(y)2-y'
⑹YY=Y,YxL1,yx大
(2)y“—9y=0.
(3)y"
+4y'
+4y=0.
(4)y_4y3y=0,
x」=-2,yx旦=0•
4y"
+y=0,y
2x633
⑶y-10y9y=e,y*卫=7,yx卫二7•
—2y=8sin2x.
(6)y"
+y+sin2x=0,yx=1,y\=1."
-yL1-yL
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习题7.4
1.一条曲线通过点P(0,1),且该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为3x2,求这曲线的方程.
2.生物活体含有少量固定比的放射性14C,其死亡时存在的14C量按与瞬时存量成比例的速
率减少,其半衰期约为5730年,在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时,若测得墓中木炭14C含
量为原来的77.2%,试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间.
3.作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比,已知物体在10s时与原点相距100m,
在20s时与原点相距200m,求物体的运动规律.
4.设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量,若污染源已排除.当采取某治污措施后,
k
该湖泊的污染物白^化规律,当△=0.38时,求99%污染物被清除的时间.
6.一弹簧挂有质量为2kg的物体时,弹簧伸长了0.098m,
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