高三数学教案函数的综合问题.docx
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高三数学教案函数的综合问题
高三数学教案:
函数的综合问题
【摘要】鉴于大家对十分关注,小编在此为大家搜集整理了此文“高三数
学教案:
函数的综合问题”,供大家参考!
本文题目:
高三数学教案:
函数的综合问题
2.12函数的综合问题
●知识梳理
函数的综合应用主要体现在以下几方面:
1.函数内容本身的相互综合,如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.
2.函数与其他数学知识点的综合,如方程、不等式、数列、解析几何等方
面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.
3.函数与实际应用问题的综合.
●点击双基
1.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数),若x∈[1,+∞)时,f(x)≥0
恒成立,则
A.b小于等于1B.b解析:
当x∈[1,+∞)时,f(x)≥0,从而2x-
b≥1,即b小于等于2x-1.而x∈[1,+∞)时,2x-1单调增加,
∴b小于等于2-1=1.
答案:
A
2.若f(x)是R上的减函数,且f(x)的图象经过点A(0,3)和B(3,-1),则不
等式|f(x+1)-1|解析:
由|f(x+1)-1|又f(x)是R上的减函数,且f(x)的图象过点
A(0,3),B(3,-1),
∴f(3)
∴0
答案:
(-1,2)
●典例剖析
【例1】取第一象限内的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),使1,x1,x2,2依
次成等差数列,1,y1,y2,2依次成等比数列,则点P1、P2与射线
l:
y=x(x>0)的关系为
A.点P1、P2都在l的上方B.点P1、P2都在l上
C.点P1在l的下方,P2在l的上方D.点P1、P2都在l的下方
剖析:
x1=+1=,x2=1+=,y1=1乘以=,y2=,∵y1
∴P1、P2都在l的下方.
答案:
D
【例2】已知f(x)是R上的偶函数,且f
(2)=0,g(x)是R上的奇函数,且
对于x∈R,都有g(x)=f(x-1),求f(2002)的值.
解:
由g(x)=f(x-1),x∈R,得f(x)=g(x+1).又f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=
g(x-3)=f(x-4),也即f(x+4)=f(x),x∈R.
∴f(x)为周期函数,其周期T=4.
∴f(2002)=f(4乘以500+2)=f
(2)=0.
评述:
应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.
【例3】函数f(x)=(m>0),x1、x2∈R,当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=.
(1)求m的值;
(2)数列{an},已知an=f(0)+f()+f()++f()+f
(1),求an.
解:
(1)由f(x1)+f(x2)=,得+=,
∴4+4+2m=[4+m(4+4)+m2].
∵x1+x2=1,∴(2-m)(4+4)=(m-2)2.
∴4+4=2-m或2-m=0.
∵4+4≥2=2=4,
而m>0时2-m∴m=2.
(2)∵an=f(0)+f()+f()++f()+f
(1),∴an=f
(1)+f()+f()++f()+f(0).
∴2an=[f(0)+f
(1)]+[f()+f()]++[f
(1)+f(0)]=+++=.
∴an=.
深化拓展
用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.
【例4】函数f(x)的定义域为R,且对任意x、y∈R,有
f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)
(1)证明f(x)是奇函数;
(2)证明f(x)在R上是减函数;
(3)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.
(1)证明:
由f(x+y)=f(x)+f(y),得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),∴f(x)+f(-
x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而有f(x)+f(-x)=0.
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
(2)证明:
任取x1、x2∈R,且x10.∴f(x2-x1)∴-f(x2-
x1)>0,即f(x1)>f(x2),从而f(x)在R上是减函数.
(3)解:
由于f(x)在R上是减函数,故f(x)在[-3,3]上的最大值是f(-3),最
小值是f(3).由f
(1)=-2,得
f(3)=f(1+2)=f
(1)+f
(2)=f
(1)+f(1+1)=f
(1)+f
(1)+f
(1)=3f
(1)=3乘以(-2)=-6,f(-3)=-
f(3)=6.从而最大值是6,最小值是-6.
深化拓展
对于任意实数x、y,定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a、b、c是常数,等
式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3,2*3=4,并且有一个
非零实数m,使得对于任意实数x,都有x*m=x,试求m的值.
提示:
由1*2=3,2*3=4,得
∴b=2+2c,a=-1-6c.
又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立,
∴∴b=0=2+2c.
∴c=-1.∴(-1-6c)+cm=1.
∴-1+6-m=1.∴m=4.
答案:
4.
●闯关训练
夯实基础
1.已知y=f(x)在定义域[1,3]上为单调减函数,值域为[4,7],若它存在反
函数,则反函数在其定义域上
A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7
C.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3
解析:
互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性,f-1(x)的
值域是[1,3].
答案:
C
2.关于x的方程|x2-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根,则实数a的值是
___________________.
解析:
作函数y=|x2-4x+3|的图象,如下图.
由图象知直线y=1与y=|x2-4x+3|的图象有三个交点,即方程|x2-4x+3|=1也
就是方程|x2-4x+3|-1=0有三个不相等的实数根,因此a=1.
答案:
1
3.若存在常数p>0,使得函数f(x)满足f(px)=f(px-)(x∈R),则f(x)的一
个正周期为__________.
解析:
由f(px)=f(px-),
令px=u,f(u)=f(u-)=f[(u+)-],∴T=或的整数倍.
答案:
(或的整数倍)
4.已知关于x的方程sin2x-2sinx-a=0有实数解,求a的取值范围.
解:
a=sin2x-2sinx=(sinx-1)2-1.
∵-1小于等于sinx小于等于1,∴0小于等于(sinx-1)2小于等于4.
∴a的范围是[-1,3].
5.记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a
(1)求A;
(2)若BA,求实数a的取值范围.
解:
(1)由2-≥0,得≥0,
∴x
(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)∵a2a.∴B=(2a,a+1).
∵BA,∴2a≥1或a+1小于等于-1,即a≥或a小于等于-2.
而a故当BA时,实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[,1).
培养能力
6.(理)已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b≥0,c∈R).
若f(x)的定义域为[-1,0]时,值域也是[-1,0],符合上述条件的函数f(x)是
否存在?
若存在,求出f(x)的表达式;若不存在,请说明理由.
解:
设符合条件的f(x)存在,
∵函数图象的对称轴是x=-,
又b≥0,∴-小于等于0.
①当-函数x=-有最小值-1,则
或(舍去).
②当-1(舍去)或(舍去).
③当-小于等于-1,即b≥2时,函数在[-1,0]上单调递增,则解得
综上所述,符合条件的函数有两个,
f(x)=x2-1或f(x)=x2+2x.
(文)已知二次函数f(x)=x2+(b+1)x+c(b≥0,c∈R).
若f(x)的定义域为[-1,0]时,值域也是[-1,0],符合上述条件的函数f(x)是
否存在?
若存在,求出f(x)的表达式;若不存在,请说明理由.
解:
∵函数图象的对称轴是
x=-,又b≥0,∴-小于等于-.
设符合条件的f(x)存在,
①当-小于等于-1时,即b≥1时,函数f(x)在[-1,0]上单调递增,则
②当-1(舍去).
综上所述,符合条件的函数为f(x)=x2+2x.
7.已知函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞),且f
(2)=2+.设点P是函数图
象上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N.
(1)求a的值.
(2)问:
|PM|•|PN|是否为定值?
若是,则求出该定值;若不是,请说明理
由.
(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.
解:
(1)∵f
(2)=2+=2+,∴a=.
(2)设点P的坐标为(x0,y0),则有y0=x0+,x0>0,由点到直线的距离公
式可知,|PM|==,|PN|=x0,∴有|PM|•|PN|=1,即|PM|•|PN|
为定值,这个值为1.
(3)由
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- 关 键 词:
- 数学教案 函数 综合 问题