立体几何学习障碍分析和课程课程教学对策研究docWord格式.docx
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一、立体几何学习中的主要障碍
1、空间想象能力的欠缺。
在之前章节的数学教学中,无论是函数图像还是解析几何、向量,所研究的都是平面图形,这些固化了学生的读图思维。
以致在接触到立体图形时,仍以“平面的眼光去看立体”,结果是学生眼睛所看到的往往与真实的空间关系是有差异的。
还有就是学生看到几何体直观图时,往往不易建立空间概念,无法在头脑中将之转化为准确的几何模型映像,从而得出正确的图形性质。
例如:
在解决“作出三棱柱中过三点
的截面(见图1)。
”这一问题时,很多学生错误地认为
延长线能相交,从而得出点是截面与上底面的公共点、连
线即为截面与上底面交线的错误结论。
事实上,在三棱柱
中,延长线是不可能相交的。
2、逻辑推理能力的欠缺。
不仅立体几何中的证明题对逻辑推理能力的要求很高,就是关于空间距离和角度的计算题,首先也需要学生能够对所定位的线段或角进行严谨有序的论证。
相对高中数学代数部分侧重于解题切入点的选取和定量的计算,立体几何更侧重于定性的分析和严密的推理,从已知条件入手到最后结论的推出,往往要涉及到很多的公理﹑定理和性质。
学生经常可以由已知条件大致猜测出结论,但几何的论证是不允许思维的过度跳跃和主观臆断的语句存在的,因此要学生设计合适的说理步骤,正确运用公理﹑定理和性质使之出现在每一步的推出关系中,让他们大伤脑筋。
立几中常用的反证法更是无法把握。
证明命题“若平面,直线且,则(见图2)”。
思路是过直线作辅助平面1和2分别交和,先利用线面平行的
性质定理得出,从而根据公理4得出,然后利用线面
平行判定定理得出,再利用线面平行的性质定理得出,最后
根据公理4得出。
在此过程中,公理4、线面平行的判定定理和性质定理反复使用,
线线关系与线面关系不停转化,容易导致学生产生逻辑混乱,很难条
理清晰地完成论证。
3、灵活应用定理分析和解决问题的能力较弱。
学生在遇到有关线线,线面,面面的位置关系判定和证明以及空间角和距离的确定计算等方面的问题时,常常深感困难,无从下手。
以证明两条直线垂直为例,在平面解几中通常只要证明此两条直线的方向向量的数量积为零即可,思路比较确定。
而立体几何中,要证明两条直线垂直,可以通过异面成角为或三垂线定理或线面垂直与平行、面面垂直的性质定理及一些推论来进行,可选择的方法较多,要看具体的问题而论,这种不确定性就给学生带来了很大的思维障碍。
4、初中平面几何的负迁移。
通过初中两年的学习,以及平常生活中对图形的直观认识,使得平面几何的知识理论体系在学生的头脑中根深蒂固。
平面几何大量直观的图形和几何概念,对初中学生学习几何的入门,直观思维和形象思维的培养,都起着不可低估的作用,但是,这在某个程度上对立体几何的学习产生了负迁移影响。
当研究对象从平面图形上升为空间图形、思维空间从“二维”变为“三维”时,学生就会产生新旧知识结构的认知冲突,反映在以下两个方面:
(1)识图与画图。
表现在“看到的与想到的不一样”。
例如在“水平放置的平面图形的直观图画法”中,正方形,矩形在水平放置后呈平行四边形,以及在图中看上去明显不垂直的两条线段却偏要证明他们互相垂直等。
(2)平面几何的性质在立体几何中正确性的再认识与辨析。
平面几何中一些常用的正确的性质,在立体几何中却不成立。
例如:
平面中,若直线,则;
但在空间若直线,则的位置关系可以是平行、相交或异面。
因而,平面几何中的性质不能直接在立体几何中应用,这需要我们再认识与辨析。
而往往学生在证明判断中却以平面几何的惯性思维来考虑立体几何问题,这正是反映了平面几何知识的负迁移影响。
这种负迁移常体现在立体几何教学的入门难上,如果这一关过不好,将影响后面的深入学习。
二、立体几何的教学对策
1、善于使用模型,加强形象直观。
按照教育家乌申斯基的说法,直观的教学不是以抽象的概念和词语为依据,而是以学生的直接感知的具体形式为依据的。
因此在教学中有意识地使用立体几何模型,是帮助学生顺利地进入立体几何之门的有用钥匙。
教师应放慢进度,在教学中尽量出示直观模型,帮助学生逐步形成空间概念。
这里所说的模型并不仅指教学中使用的立几教具,而主要是指学生随时可取的桌面、书本(表示平面),笔、手指(表示直线)、打开的书本、墙面(表示相交的二面)等等。
善于利用立几模型,可以使许多问题变得直观易懂,能较快地提升学生的空间想象能力。
例如在作“空间交于同一点的三个平面直观图”时,学生感到十分困难,毫无头绪。
但只要教师提示学生观察教室的墙角,该作图题就迎刃而解了(见图3)。
再例如:
“若两条直线与两条异面直线分别交于点和,试判断此两条直线的位置关系。
”这个问题,只要拿四支笔摆一下几种不同的位置关系,很快就能得出两条直线相交或异面的位置关系。
日常教学中模型的使用可帮助学生遇到空间图形时在脑中建立相应的实物影像,这就是初步具备了空间想象力。
如果教师在课堂中曾向学生展示并分析过三棱柱模型,那么图1中的错误学生就不会犯了。
随着科学技术的发展以及学校多媒体设备的普及,教师还可以借助计算机绘制生动、形象的立体图形,并通过对图形移动、切割、旋转、放大等动态操作使学生能对直观图形进行透彻地观察,加深对图形性质的理解。
从加强直观教学的角度看,多媒体教学具有不可比拟的优越性。
2、重视对学生作图、识图能力的培养。
作图和识图教学是培养学生空间想象力的重要途径之一。
我们常遇到这种情况:
学生把题目看了几遍,但仍然画不出适合题意的图形以辅助解题或者看不出图形中的一些有用的线面关系,甚为苦恼。
因此,在立体几何教学之初,要重视对学生识图、作图能力的培养和训练,教师可从以下两方面进行:
(1)重视几何体直观图作法,直接训练作图能力。
作图和识图有着密切的关系,能正确地作图必然会提高识图能力。
因此,教师在教学中一定要留出时间,通过展示正方体、四面体、棱柱、旋转体等几何体的模型,引导学生尝试从不同的角度来观察作图,并学会分析由此产生的不同视觉效果。
同时,教师也要逐步培养学生“看图﹑想图﹑辨图”能力,即根据已知要求,脱离实际模型,也会在二维的纸上正确合理地画出三维的空间图形,并根据图形来分析相关的点、线、面之间的各种位置关系。
图形是直观的语言,它的直观性、准确性会直接影响数学思维和数学推理,它是学习立体几何的第一道难关,应该引起我们的重视。
(2)通过解剖图形,提高识图能力。
立体几何图形是由点、线、面这些基本元素通过一定的关系组合而成的,这种关系到了空间已经较平面上发生了很大的变化。
不熟悉、不适应这种变化,是学生难以从平面几何进入到立体几何学习的一个障碍。
在解决立几问题的教学中,若给出的图形较复杂、线面关系不易寻找,教师可引导学生进行图形解剖,把一个复杂的图形分解为几部分有简单关系的常见的几何体,并联想以往知识寻找解题线索。
“已知分别是正方形的棱的中点,求与平面所成的角(见图4)”。
我们把涉及到的点、线、面从正方体中“解剖”出来,马上就会发现这个图形非常熟悉,在平面上的射影即为的平分线。
常让学生做一些解剖图形的训练,对进一步提高学生的识图能力有很大帮助。
3、加强逻辑思维能力的培养。
首先是要牢固掌握数学的基本概念和定理性质,其次是掌握必要的逻辑知识和逻辑思维,当然,还要加强推理论证的训练和纠正学生易犯的逻辑错误。
教师可以通过以下两个途径加强逻辑思维能力的培养:
(1)重视定理的教学。
我们知道,定理本身的证明思路具有示范性、典型性,它体现了基本的逻辑推理知识和基本的证明思想的培养,以及规范的书写格式的养成。
在教学中,教师应引导学生做到不仅会分析定理的条件和结论,而且能掌握定理的内容、证明的思想方法、适用范围和表达形式,特别是新涉及到的一些证题思想方法。
如异面直线的判定定理:
“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线”的证明就引出了反证法,那么教师在这里就应该结合此题向学生重点介绍反证法的证题思想、一般步骤、书写格式、注意要点等,并配以适当的强化训练,以初步掌握反证法。
(2)重视解题思路的训练。
教师在教学中,应有意识地培养学生进行解题思路的梳理与表达。
一个问题的处理,可以先搭建主要思路、明确解题逻辑,然后再进行补充完善。
特别需要注意的是,教师在这样的过程中应充分发挥学生的主体性。
长此这样的训练,必能提高学生的逻辑思维能力和表达能力。
4、尽量削弱平面几何的负迁移。
立几学习中的障碍,很大一部分缘于学生对平面几何中的一些性质在立体几何学习中的负迁移。
虽然我们已经在三维空间讨论问题,研究的也是空间点、线、面的关系,但遇到具体问题时学生们首先支配思维的仍然是平面几何的性质。
因此,我们在教学立体几何的有关定理性质时要善于与平面几何中的有关定理性质进行类比区分,重点指出两者之间的相似之处和不同之处。
通过讨论相似之处,可以帮学生加深对新知识的理解,明白几何体系的一个延伸过程,提高他们的数学素养和数学能力。
“平行于同一条直线的两直线平行”在平面和空间都成立。
对不同之处的研究,主要帮助学生尽快树立空间概念,完成从平面到空间的思维背景的转换。
“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”在平面成立,而在空间不成立。
所以在立几教学中教师应重视平面与空间的结合,这样对学生来讲,其空间想象能力可以在平面几何的基础上得到训练和提高,达到事半功倍的教学效果。
5、突出转化思想的应用。
立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富,其中最重要的就是转化的思想方法,教师在立体几何教学中应格外重视。
如果能引导学生熟练掌握几种常见的转化手段,那么对学生突破空间思维障碍,灵活学习立体几何将会有很大的帮助。
具体可从以下几个方面着手:
(一)降维转化。
由三维空间向二维空间转化,是研究立体几何问题的重要数学方法之一。
降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去,用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。
“设正三棱锥的底边长
为,侧棱长为,过作与侧棱
都相交的截面(如图5),求这个截
面周长的最小值。
”
我们只需沿侧棱SA将三棱锥剪开,
得侧面展开图,则求截面周长的最小值问题就转化为侧面展开图中求两点的最短连线段长的问题了。
又如:
“正四棱柱的八个顶点都在球的球面上,且正四棱柱的底面边长为2,侧棱长为3,求球的体积。
”对于此类多面体与旋转体内接外切的问题,学生相当头痛。
而最便捷的方法就是取一个合适的截面,把正四棱
柱和球的相关要素全部转化到一个平面图形中(如图6),马上就
可以利用正四棱柱对角面的对角线长等于球的直径求出球
的半径,从而解决问题。
(二)元素转化。
研究空间点、线、面的位置关系是立体几
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