历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答.doc
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全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1.已知2阶行列式,,则(B)
A. B. C. D.
.
2.设A,B,C均为n阶方阵,,,则(D)
A.ACB B.CAB C.CBA D.BCA
.
3.设A为3阶方阵,B为4阶方阵,且,,则行列式之值为(A)
A. B. C.2 D.8
.
4.,,,,则(B)
A.PA B.AP C.QA D.AQ
.
5.已知A是一个矩阵,下列命题中正确的是(C)
A.若矩阵A中所有3阶子式都为0,则秩(A)=2
B.若A中存在2阶子式不为0,则秩(A)=2
C.若秩(A)=2,则A中所有3阶子式都为0
D.若秩(A)=2,则A中所有2阶子式都不为0
6.下列命题中错误的是(C)
A.只含有1个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关
C.由1个非零向量组成的向量组线性相关 D.2个成比例的向量组成的向量组线性相关
7.已知向量组线性无关,线性相关,则(D)
A.必能由线性表出 B.必能由线性表出
C.必能由线性表出 D.必能由线性表出
注:
是的一个极大无关组.
8.设A为矩阵,,则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩(D)
A.小于m B.等于m C.小于n D.等于n
注:
方程组Ax=0有n个未知量.
9.设A为可逆矩阵,则与A必有相同特征值的矩阵为(A)
A. B. C. D.
,所以A与有相同的特征值.
10.二次型的正惯性指数为(C)
A.0 B.1 C.2 D.3
,正惯性指数为2.
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
11.行列式的值为_____________.
.
12.设矩阵,,则_____________.
.
13.设,,若向量满足,则__________.
.
14.设A为n阶可逆矩阵,且,则|_____________.
.
15.设A为n阶矩阵,B为n阶非零矩阵,若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,则_____________.
个方程、个未知量的Ax=0有非零解,则0.
16.齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为_____________.
,基础解系所含解向量的个数为.
17.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是,则矩阵必有一个特征值为_________.
A有特征值,则有特征值,有特征值.
18.设矩阵的特征值为,则数_____________.
由,得2.
19.已知是正交矩阵,则_____________.
由第1、2列正交,即它们的内积,得0.
20.二次型的矩阵是_____________.
.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算行列式的值.
解:
.
22.已知矩阵,,求
(1);
(2).
解:
(1);
(2)注意到,所以
.
23.设向量组,求向量组的秩及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量.
解:
,向量组的秩为3,是一个极大无关组,.
24.已知矩阵,.
(1)求;
(2)解矩阵方程.
解:
(1)
,;
(2).
25.问a为何值时,线性方程组有惟一解?
有无穷多解?
并在有解时求出其解(在有无穷多解时,要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解).
解:
.
时,,有惟一解,此时
,;
时,,有无穷多解,此时
,,通解为,其中为任意常数.
26.设矩阵的三个特征值分别为,求正的常数a的值及可逆矩阵P,使.
解:
由,得,.
.
对于,解:
,,取;
对于,解:
,,取;
对于,解:
,,取.
令,则P是可逆矩阵,使.
四、证明题(本题6分)
27.设A,B,均为n阶正交矩阵,证明.
证:
A,B,均为n阶正交阵,则,,,所以
.
全国2010年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1.设3阶方阵,其中()为A的列向量,若,则(C)
.
A. B. C.6 D.12
2.计算行列式(A)
A. B. C.120 D.180
.
3.若A为3阶方阵且,则(C)
A. B.2 C.4 D.8
,.
4.设都是3维向量,则必有(B)
A.线性无关 B.线性相关
C.可由线性表示 D.不可由线性表示
5.若A为6阶方阵,齐次方程组Ax=0基础解系中解向量的个数为2,则(C)
A.2 B.3 C.4 D.5
由,得4.
6.设A、B为同阶方阵,且,则(C)
A.A与B相似 B. C.A与B等价 D.A与B合同
注:
A与B有相同的等价标准形.
7.设A为3阶方阵,其特征值分别为,则(D)
A.0 B.2 C.3 D.24
的特征值分别为,所以.
8.若A、B相似,则下列说法错误的是(B)
A.A与B等价 B.A与B合同 C. D.A与B有相同特征值
注:
只有正交相似才是合同的.
9.若向量与正交,则(D)
A. B.0 C.2 D.4
由内积,得4.
10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为,则(B)
A.A正定 B.A半正定 C.A负定 D.A半负定
对应的规范型,是半正定的.
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
11.设,,则______________.
.
12.设A为3阶方阵,且,则______________.
.
13.三元方程的通解是______________.
,通解是.
14.设,则与反方向的单位向量是______________.
.
15.设A为5阶方阵,且,则线性空间的维数是______________.
的维数等于基础解系所含向量的个数:
.
16.
.
17.若A、B为5阶方阵,且只有零解,且,则______________.
只有零解,所以可逆,从而.
18.实对称矩阵所对应的二次型______________.
.
19.设3元非齐次线性方程组有解,,且,则的通解是______________.
是的基础解系,的通解是.
20.设,则的非零特征值是______________.
由,可得,设的非零特征值是,
则,.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算5阶行列式.
解:
连续3次按第2行展开,.
22.设矩阵X满足方程,求X.
解:
记,,,则,
,,
.
23.求非齐次线性方程组的通解.
解:
,
,通解为,都是任意常数.
24.求向量组,,的秩和一个极大无关组.
解:
,向量组的秩为2,是一个极大无关组.
25.已知的一个特征向量,求及所对应的特征值,并写出对应于这个特征值的全部特征向量.
解:
设是所对应的特征值,则,即,从而,可得,,;
对于,解齐次方程组:
,,基础解系为,属于的全部特征向量为,为任意非零实数.
26.设,试确定使.
解:
,时.
四、证明题(本大题共1小题,6分)
27.若是()的线性无关解,证明是对应齐次线性方程组的线性无关解.
证:
因为是的解,所以,是的解;
设,即,由线性无关,得,只有零解,所以线性无关.
全国2011年1月高等教育自学考试
线性代数(经管类)试题
课程代码:
04184
说明:
本卷中,A-1表示方阵A的逆矩阵,r(A)表示矩阵A的秩,()表示向量与的内积,E表示单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1.设行列式=4,则行列式=()
A.12 B.24
C.36 D.48
2.设矩阵A,B,C,X为同阶方阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=()
A.A-1CB-1 B.CA-1B-1
C.B-1A-1C D.CB-1A-1
3.已知A2+A-E=0,则矩阵A-1=()
A.A-E B.-A-E
C.A+E D.-A+E
4.设是四维向量,则()
A.一定线性无关 B.一定线性相关
C.一定可以由线性表示 D.一定可以由线性表出
5.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则()
A.A=0 B.A=E
C.r(A)=n D.0 6.设A为n阶方阵,r(A) A.Ax=0只有零解 B.Ax=0的基础解系含r(A)个解向量 C.Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量 D.Ax=0没有解 7.设是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,则() A.是Ax=b的解 B.是Ax=b的解 C.是Ax=b的解 D.是Ax=b的解 8.设,,为矩阵A=的三个特征值,则=() A.20 B.24 C.28 D.30 9.设P为正交矩阵,向量的内积为()=2,则()=() A. B.1 C. D.2 10.二次型f(x1,x2,x3)=的秩为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。 11.行列式=0,则k=_________________________. 12.设A=,k为正整数,则Ak=_________________________. 13.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=,则矩阵A=_________________________. 14.设向量=(6,-2,0,4),=(-3,1,5,7),向量满足,则=_________________________. 15.设A是m×n矩阵,Ax=0,只有零解,则r(A)=_________________________. 16.设是齐次线性方程组Ax=0的两个解,则A(3)=________. 17.实数向量空间V={(x1,x2,x3)|x1-x2+x3=0}的维数是______________________. 18.设方阵A有一个特征值为0,则|A3|=________________________. 19.设向量(-1,1,-3),(2,-1,)正交,则=__________________. 20.设f(x1,x2,x3)=是正定二次型,则t满足_________. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21.计算行列式 22.设矩阵A=,对参数讨论矩阵A的秩. 23.求解矩阵方程X= 24.求向量组: ,,,的一个极大线性无关组,并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来. 25.求齐次线性方程组的一个基础解系及其通解. 26.求矩阵的特征值和特征向量. 四、证明题(本大题共
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