最经典的乘法公式综合应用与拓展学生教师两用版.docx
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最经典的乘法公式综合应用与拓展学生教师两用版
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展(学生版)
一、基本公式
1.平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
例:
计算19992-2000×1998
2.完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2
例:
运用公式简便计算
(1)1032
(2)1982
3.完全平方公式
(1)完全平方公式变用1:
利用已知的两项求第三项
a+b(或a-b)、ab、a2+b2这三者任意知道两项就可以求出第三项
(a+b)2、(a-b)2、ab这三者任意知道两项就可以求出第三项
①==(a-b)2+2ab
②(a-b)2=(a+b)2-4ab(a+b)2=(a-b)2+4ab
(2)完全平方公式变用2:
两个完全平方公式之和的整合
(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)
例1.已知,,求的值。
例2.已知,,求的值。
例3.已知,求的值。
例4.已知m+n=7,mn=-18,求m2-mn+n2的值.
例5(3)已知:
x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值.
例6.已知a+=5,求
(1)a2+,
(2)(a-)2的值.
例7.已知,求的值。
例8.解下列各式
(1)已知a2b213,ab6,求ab2,ab2的值。
(2)已知ab27,ab24,求a2b2,ab的值。
(3)已知aa1a2b2,求的值。
(3)完全平方公式变用3:
几个数的和的平方推广
几个数的和的平方,等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
abc2a2b2c22ab2bc2ac
公式的证明:
abc2abc2ab22abcc2
a22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2bc2ac
例.计算
(1)x2x12
(2)3mnp2
4.立方和与立方差公式
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
=a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3=a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3
=a3+b3=a3-b3
二、公式的灵活运用
1.对公式的基本变用
(1)位置变化,xyyxx2y2
(2)符号变化,xyxyx2y2x2y2
2.整体思想的应用
(1)应用整体思想,首先要能识别公式中的“两数”.
例1计算(-a2+4b)2
分析:
运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时,____就是公式中的a,____就是公式中的b;若将题目变形为(4b-a2)2时,则____是公式中的a,而____就是公式中的b.(解略)
练习1.计算:
练习2.计算:
xyzxyz
练习3.计算:
xyzmxyzm
练习4.计算:
(2)应用应用整体思想,其次能正确选取负号和减号
例计算:
(-2x2-5)(2x2-5)
分析:
本题两个因式中“-5”相同,“2x2”符号相反,因而____是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a,而____则是公式中的b.
解:
原式=
(3)应用整体思想,要善于分组加括号
根据原式各项负号的异同(看前面括号和后面括号哪些项符号相同,哪些项符号相反,般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体,据此分组)采用添括号合理分组的方法,再应用整体思想
例1.计算:
例2计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
例3.计算
(1)a4b3ca4b3c
(2)3xy23xy2
例4.计算:
例5.计算:
例6计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)2+(b-a+c)2.
例7.四个连续自然数的乘积加上1,一定是平方数吗?
为什么?
3.公式的逆用
例1.计算:
例2计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
4.公式的连用
例1.计算:
xyxyx2y2
例2.计算:
例3.计算:
(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2
例4.计算:
5.创造条件后用公式
(1)通过变形,创造条件后用公式
1)改变顺序:
调整各项的排列顺序,可以使公式的特征更加明显.
例1、运用乘法公式计算:
(1)()();
(2)(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)
2)提出负号:
对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以避免负号多带来的麻烦。
如(-2m-7n)(2m-7n)变为(2m+7n)(7n-2m)后就可用平方差公式求解了
练习:
(1)(-1+3x)(-1-3x);
(2)(-2m-1)2
3)先提公因数(式),再用公式
例2.求:
(1)
(2)(4m+)(2m-)变为2(2m+)(2m-)
4)项数变化将某一项(某个数)变形:
一分为二,通过创造条件分组。
例3计算:
(2x-3y-1)(-2x-3y+5)
分析仔细观察,易见两个因式的字母部分与平方差公式相近,但常数不符.于是可创造条件─“拆”数:
-1=2-3,5=2+3,使用公式巧解
例4.计算:
又如:
(x+3y+2z)(x-3y+6z)变为(x+3y+4z-2z)(x-3y+4z+2z)后再适当分组就可以用乘法公式来解了.
5).先整体展开,再用公式
例5.计算:
简析:
乍看两个多项式无联系,但把第二个整式分成两部分,即,再将第一个整式与之相乘,利用平方差公式即可展开。
解:
原式=
6)其它变形技巧
例6:
已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。
求x2-z2的值。
因为x-y=2,y-z=2,将两式相加得x-z=4,所以x2-z2=(x+z)(x-z)=14×4=56。
常见的变形技巧
(2)通过草船借箭后创造条件用公式
例1(3)计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
分析:
此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项(2-1),则可运用公式,使问题化繁为简.
解:
原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)
=(28-1)(28+1)
=216-1
例2.计算:
例3:
判断(2+1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1的个位数字是几?
(3)乘法公式交替用
例试证:
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展(教师版)
一、基本公式
1.平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
例:
计算19992-2000×1998
2.完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2
例:
运用公式简便计算
(1)1032
(2)1982
(1)1032100321002210033210609
(2)1982200222002220022239204
3.完全平方公式
(1)完全平方公式变用1:
利用已知的两项求第三项
a+b(或a-b)、ab、a2+b2这三者任意知道两项就可以求出第三项
(a+b)2、(a-b)2、ab这三者任意知道两项就可以求出第三项
①==(a-b)2+2ab
②(a-b)2=(a+b)2-4ab(a+b)2=(a-b)2+4ab
(2)完全平方公式变用2:
两个完全平方公式之和的整合
(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)
例1.已知,,求的值。
==
例2.已知,,求的值。
==
例3.已知,求的值。
例4.已知m+n=7,mn=-18,求m2-mn+n2的值.
m2-mn+n2=(m+n)2-3mn=72-3×(-18)=103.
例5已知:
x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值.
(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1.
例6.已知a+=5,求
(1)a2+,
(2)(a-)2的值.
答案:
(1)23;
(2)21.)
例7.已知,求的值。
由,得即
即
例8.解下列各式
(1)已知a2b213,ab6,求ab2,ab2的值。
(2)已知ab27,ab24,求a2b2,ab的值。
(3)已知aa1a2b2,求的值。
解:
(1)ab2a2b22ab132625ab2a2b22ab13261
(2)a22abb27①a22abb24②
①②得2a2b211,即
①②得4ab3,即
(3)由aa1a2b2得ab2
(3)完全平方公式变用3:
几个数的和的平方推广
几个数的和的平方,等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
abc2a2b2c22ab2bc2ac
公式的证明:
abc2abc2ab22abcc2
a22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2bc2ac
例.计算
(1)x2x12
(2)3mnp2
4.立方和与立方差公式
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
=a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3=a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3
=a3+b3=a3-b3
二、公式的灵活运用
1.对公式的基本变用
(1)位置变化,xyyxx2y2
(2)符号变化,xyxyx2y2x2y2
2.整体思想的应用
(1)应用整体思想,首先要能识别公式中的“两数”.
例1计算(-a2+4b)2
分析:
运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时,____就是公式中的a,____就是公式中的b;若将题目变形为(4b-a2)2时,则____是公式中的a,而____就是公式中的b.(解略)
练习1.计算:
练习2.计算:
xyzxyzxy2z2
练习3.计算:
xyzmxyzmxy2zm2x2y2z22zmm2
练习4.计算:
(2)应用应用整体思想,其次能正确选取负号和减号
例计算:
(-2x2-5)(2x2-5)
分析:
本题两个因式中“-5”相同,“2x2”符号相反,因而____是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a,而____则是公式中的b.
解:
原式=
(3)应用整体思想,要善于分组加括号
根据原式各项负号的异同(看前面括号和后面括号哪些项符号相同,哪些项符号相反,般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体,据此分组)采用添括号合理分组的方法,再应用整体思想
例1.计算:
例2计算
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- 经典 乘法 公式 综合 应用 拓展 学生 教师 两用