一元二次方程知识点的总结Word文档格式.docx
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(1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号。
(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。
(3)形如不一定是一元二次方程,当且仅当时是一元二次方程。
例1将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1);
(2);
(3)
例2已知关于的方程是一元二次方程时,则
考点三解一元二次方程的方法
使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如:
当时,所以是方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
法一直接开平方法解一元二次方程
若,则叫做a的平方根,表示为,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
(1)的解是;
(2)的解是;
(3)的解是。
例用直接开平方法解下列一元二次方程
法二配方法
解一元二次方程时,在方程的左边加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种方法叫做配方,配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了,这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
用配方法解一元二次方程,当对方程的左边配方时,一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后,还要再减去这个数。
例用配方法解下列方程:
(2)
法三因式分解法
如果两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即若pq=0时,则p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将方程的右边化为0;
(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
(3)令每个因式分别为0,得两个一元一次方程。
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。
关键点:
(1)要将方程右边化为0;
(2)熟练掌握多项式因式分解的方法,常用方法有:
提公式法,公式法(平方差公式,完全平方公式)等。
例用因式分解法解下列方程:
(3)。
法四公式法
一元二次方程的求根公式是:
用求根公式法解一元二次方程的步骤是:
(1)把方程化为的形式,确定的值(注意符号);
(2)求出的值;
(3)若,则把及的值代人求根公式,求出。
例用公式法解下列方程
(3)技巧选择适合的方法解一元二次方程
直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式,右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程
因式分解要求方程右边必须是0,左边能分解因式;
公式法是由配方法推导而来的,要比配方法简单。
一元二次方程解法的选择,应遵循先特殊,再一般,即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法,不能用这两种特殊方法时,再选用公式法,没有特殊要求,一般不采用配方法,因为配方法解题比较麻烦。
例用适当的方法解下列一元二次方程:
(2);
(3)
考点四一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式△=
运用根的判别式,不解方程,就可以判定一元二次方程的根的情况:
(1)△=﹥0方程有两个不相等的实数根;
(2)△==0方程有两个相等的实数根;
(3)△=﹤0方程没有实数根;
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤:
①把所有一元二次方程化为一般形式;
②确定的值;
③计算的值;
④根据的符号判定方程根的情况。
例不解方程,判断下列一元二次方程根的情况:
考点五根的判别式的逆用
在方程中,
(1)方程有两个不相等的实数根﹥0
(2)方程有两个相等的实数根=0
(3)方程没有实数根﹤0
逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围,但不能忽略二次项系数不为0这一条件。
例为何值时,方程的根满足下列情况:
(1)有两个不相等的实数;
(2)有两个相等的实数根;
(3)没有实数根;
考点六一元二次方程的根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根,则有,
根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系:
(1)
(2)
(4)││==
例已知方程的两根为,不解方程,求下列各式的值。
(2)。
考点七根据代数式的关系列一元二次方程
利用一元二次方程解决有关代数式的问题时,要善于用一元二次方程表示题中的数量关系(即列出方程),然后将方程整理成一般形式求解,最后作答。
例当取什么值时,代数式与代数式的值相等?
强化练习
一、选择题
1.一元二次方程x2=2x的根是( )
A、x=2B、x=0C、x1=0,x2=2D、x1=0,x2=﹣2
2.将代数式x2+4x-1化成(x+p)2+q的形式( )
A、(x-2)2+3B、(x+2)2-4C、(x+2)2-5D、(x+2)2+4
3.方程x2﹣4=0的解是( )
A、x=2B、x=﹣2C、x=±
2D、x=±
4
4.小华在解一元二次方程x2﹣x=0时,只得出一个根x=1,则被漏掉的一个根是( )
A、x=4B、x=3C、x=2D、x=0
5.若方程式(3x﹣c)2﹣60=0的两根均为正数,其中c为整数,则c的最小值为何?
( )
A、1B、8C、16D、61
6.已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根,则的值为( )
A.B.C.﹣1D.1
7.已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根,则该三角形的周长L的取值范围是( )
A.1<L<5B.2<L<6C.5<L<9D.6<L<10
8.方程(x+1)(x﹣2)=x+1的解是( )
A、2B、3C、﹣1,2D、﹣1,3
9.分三角形两边长分别为3和6,第三边是方程x2﹣6x+8=0的解,则这个三角形的周长是( )
A、11B、13C、11或13D、不能确定
10.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为( )
A、3,-5B、-3,-5C、-3,5D、3,5
二、填空题
1.(2011江苏淮安,13,3分)一元二次方程x2-4=0的解是.
2.(2011江苏南京,19,6分)解方程x2﹣4x+1=0.
3.(2011山东济南,18,3分)方程x2﹣2x=0的解为 .
4.(2011泰安,21,3分)方程2x2+5x-3=0的解是___________.
5.(2011山东淄博14,4分))方程x2﹣2=0的根是 .
6.(2011四川达州,10,3分)已知关于x的方程x2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3,则m= ,n= .
7.(2011浙江衢州,11,4分)方程x2﹣2x=0的解为 .
8.(2011黑龙江省黑河,7,3分)一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为()。
三、解答题
1.(2011江苏无锡,20,8分)
(1)解方程:
x2+4x﹣2=0;
2.(2011山东烟台,19,6分)先化简再计算:
,其中x是一元二次方程的正数根.
3.(2011清远,18,5分)解方程:
x2-4x-1=0.
4.(2011湖北武汉,17,6分)解方程:
x2+3x+1=0
5、已知x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根.
(1)是否存在实数a,使-x1+x1x2=4+x2成立?
若存在,求出a的值;
若不存在,请你说明理由;
(2)求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.
6、已知关于x的一元二次方程(x-m)2+6x=4m-3有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)设方程的两实根分别为x1与x2,求代数式x1•x2-x12-x22的最大值.
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- 一元 二次方程 知识点 总结