届浙江省湖州三校普通高等学校招生全国统一考试数学试题解析版Word下载.docx
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【解析】先化简复数为代数形式,再根据共轭复数概念求解.
因为,所以其共轭复数是,选C.
本题考查共轭复数概念,考查基本分析求解能力,属基本题.
4.若变量,满足约束条件,则的最大值是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】先作可行域,再求范围,最后可得的最大值.
作可行域,如图,
则直线过点A(-1,-1)时取最小值-4,过点时取最大值2,
因此的最大值是4,选D.
本题考查线性规划求最值,考查基本分析求解能力,属基本题.
5.设函数,则函数的图像可能为()
A.B.
C.D.
【解析】先判断函数奇偶性,舍去B,D,再根据函数值正负确定选项.
因为,所以舍去B,D,
因为ln3>
0,所以选C.
本题考查函数图象识别,考查基本分析判断能力,属基本题.
6.设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且,则“”是“”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】根据面面垂直性质定理可证得充分性成立,举反例说明必要性不成立.
因为,平面与平面相交于直线,直线在平面内,且,
所以,因为直线在平面内,所以,即充分性成立,
若,,但时,与不一定垂直,即不一定垂直,即必要性不成立.
选A.
本题考查面面垂直性质定理与充要关系,考查基本分析判断能力,属中档题.
7.已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1,2,3的小球,每个小球上有一个数字,它们的个数依次成等差数列,从中随机抽取一个小球,若取出小球上的数字的数学期望是2,则的方差是()
【解析】根据题意可假设标有数字1,2,3的小球各有1个,再根据方差定义求结果.
因为取出小球上的数字的数学期望是2,且个数依次成等差数列,所以不妨设标有数字1,2,3的小球各有1个,从而随机抽取一个小球概率皆为,方差为,选B.
本题考查数学期望与方差,考查基本分析与求解能力,属中档题.
8.已知三棱锥中,为正三角形,,且在底面内的射影在的内部(不包括边界),二面角,二面角,二面角的大小分别为,,,则()
【解析】作出三个二面角,再根据,确定二面角大小.
设在底面内的射影为O,过O分别作AB,BC,CA垂线,垂足分别为D,E,F,则,,,从而,,,
因为,所以,,即,
即,选C.
本题考查二面角,考查基本分析与判断能力,属中档题.
9.已知向量,的夹角为,且,则的最小值为()
A.B.C.5D.
【解析】建立坐标系,将转化为直线上一动点到两定点距离和,再根据对称求最小值.
由题意可设,,
因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为,所以选B.
本题考查向量坐标表示与直线对称,考查等价转化与数形结合思想方法,考查基本求解能力,属难题.
10.已知数列满足,,则使的正整数的最小值是()
A.2018B.2019C.2020D.2021
【解析】令,利用裂项相消法得,再根据范围求正整数的最小值.
令,则,所以,从而,
因为,所以数列单调递增,
设当时,当时,
所以当时,,,
从而,
因此,
选C.
本题考查数列递推关系与裂项相消法,考查等价转化与构造法,考查综合分析与求解能力,属难题.
二、填空题
11.我国古代某数学著作中记载了一个折竹抵地问题:
“今有竹高二丈,末折抵地,去本六尺,问折者高几何?
”意思是:
有一根竹子(与地面垂直),原高二丈(1丈=10尺),现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离为六尺,则折断处离地面的高为__________尺.
【答案】9.1尺
【解析】根据题意列方程,解得结果.
设折断处离地面的高为尺.则
本题考查数学文化与应用,考查基本分析与求解能力,属基础题.
12.某几何体的三视图如图所示(单位:
),则该几何体的体积(单位:
)等于_______,表面积(单位:
)等于__________.
【答案】
【解析】先还原几何体,再根据柱体与锥体性质求体积与表面积.
几何体一个边长为2的正方体挖去一个正四棱锥(顶点在正方体下底面中心,底面为正方体上底面),因此几何体的体积为,表面积为
本题考查三视图与柱体与锥体性质,考查空间想象能力与基本求解能力,属基础题.
13.在中,内角,,所对的边分别为,,.已知,则的值为__________,若,,则的面积等于_________.
【答案】16
【解析】第一空根据两角和正切公式得,再根据同角三角函数关系得的值,第二空先根据正弦定理得,再根据两角和正弦公式得,最后根据面积公式得结果.
因为,所以,因此
因为,所以
因为()=,所以的面积等于
本题考查两角和正切公式、两角和正弦公式与正弦定理,考查基本分析求解能力,属基础题.
14.若,则_________,_________.
【答案】-27-940
【解析】利用赋值法求系数.
令得,所以,
令得,
两式相加得
本题考查利用赋值法求二项展开式系数,考查基本分析求解能力,属基础题.
15.已知函数,则__________,若实数,且,则的取值范围是__________.
【答案】4
【解析】第一空直接代入对应解析式求解即可,第二空先根据函数图象确定关系及取值范围,再求的取值范围.
),
因为,且,所以,,
因此.
本题考查分段函数求值以及函数图像,考查综合分析与求解能力,属中档题.
16.现有排成一排的7个不同的盒子,将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中,若每个盒子最多放一个小球,则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.(结果用数字表示)
【答案】336
【解析】根据相邻问题捆绑法,不相邻问题插空法进行求解.
先不考虑红球与黄球不相邻,则4个小球有种排法,再安排空盒,有种方法,
再考虑红球与黄球相邻,则4个小球有种排法,再安排空盒,有种方法,
因此所求放法为
本题考查排列组合应用,考查综合分析与求解能力,属中档题.
17.已知椭圆的两个顶点,,过,分别作的垂线交该椭圆于不同于的,两点,若,则椭圆的离心率是__________.
【答案】
【解析】先求出,两点坐标,再根据弦长公式化简,解得离心率.
过作的垂线的方程为,与联立方程组解得,
本题考查椭圆的离心率,考查综合分析与求解能力,属中档题.
三、解答题
18.已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调递减区间;
(Ⅱ)求方程在区间内的所有实根之和.
(Ⅰ),.(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)先根据二倍角公式、辅助角公式化基本三角函数,再根据正弦函数性质求减区间,(Ⅱ)根据正弦函数图像与性质求简单三角方程的根.
(Ⅰ),
由单调递减可知,递增,
故,,即.
∴函数的单调递增区间是,.
(Ⅱ)由,得.
由在上递增,在上递减,且,
得,方程在上有两不等实根,,且满足.
∴.
本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数图像与性质,考查综合分析与求解能力,属中档题.
19.如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,且,平面平面,二面角为.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值.
(Ⅰ)见解析
(2)
(Ⅰ)根据面面垂直性质定理得平面,即得即为二面角的平面角,利用余弦定理解得,根据勾股定理得.最后根据线面垂直判定定理得结论,(Ⅱ)先利用等体积法求点到平面的距离,再根据解三角形得结果.
(Ⅰ)证明:
平面平面,交线为,且,
∴平面,从而,,
∴即为二面角的平面角,即.
又,,由余弦定理得,
∴,即.
又,
∴平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面,从而,,
又,,故.
由已知,点到平面的距离等于点到平面的距离,
设点到平面的距离为,则点到平面的距离也为,
由得:
,.
∴与平面所成角的正弦值.
本题考查面面垂直性质定理、二面角、线面垂直判定定理、等体积法求点到平面的距离以及线面角,考查综合分析与求解能力,属中档题.
20.已知等差数列的前项和为,,公差,且,,成等比数列,数列满足,的前项和为.
(Ⅰ)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)记,试比较与的大小.
(Ⅰ),(Ⅱ)见解析
(Ⅰ)根据待定系数法求得公差,再利用和项与通项关系得的通项公式,(Ⅱ)先利用裂项相消法求,利用等比数列求和公式得,最后作差,利用二项展开式比较大小.
(Ⅰ)由已知得,即,
又,∴,
∴,.
由得.
时,.
∴,显然也满足,
(Ⅱ),,
,
当时,,,
当时,,
综上,当时,;
当时.
本题考查利用和项与通项关系求通项公式、裂项相消法求和以及二项展开式应用,考查综合分析与求解能力,属中档题.
21.已知抛物线:
的焦点为,过点的动直线与抛物线交于,两点,直线交抛物线于另一点,的最小值为4.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)记、的面积分别为,,求的最小值.
(Ⅰ)(Ⅱ).
(Ⅰ)根据抛物线性质可得,即得结果,(Ⅱ)设直线方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理以及弦长公式求,再利用基本不等式求最值.
(Ⅰ)由已知及抛物线的几何性质可得,
∴,
∴抛物线的方程为.
(Ⅱ)设直线:
,:
,
,,,
由,,
同理可得,从而,
点到的距离,
∴.
当且仅当,即时有最小值.
本题考查抛物线定义与性质以及基本不等式求最值,考查综合分析与求解能力,属中档题.
22.已知函数,,曲线与有且仅有一个公共点.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若存在实数,,使得关于的不等式对任意正实数恒成立,求的最小值.
(Ⅰ)(Ⅱ)4
(Ⅰ)根据导数研究函数图象,再根据图象确定有且仅有一个公共点的条件,解得结果,(Ⅱ)先根据特殊值缩小的取值范围,再根据二次函数性质确定成立的条件,利用导数确定成立的条件,结合两个条件消得关于满足的条件,最后利用导数分析取值范围,即得最小值.
(Ⅰ)由题意知,即,令,
则.
∵在上递增,在上增减,
(Ⅱ)解法一:
由题意知必有,即,
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