数学物理方程期末考试试题及答案.doc
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数学物理方程期末考试试题及答案
一、求解方程(15分)
其中。
解:
设则方程变为:
,(8’)由边值条件可得:
由即得:
。
二、利用变量分离法求解方程。
(15分)
其中。
为常数
解:
设代于方程得:
,(8’)
,
由边值条件得:
,
三.证明方程具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性.(15分)
证明:
设代入方程:
设都是方程的解设代入方程得:
由极值原理得唯一性得证。
(8’)由
,稳定性得证由知的唯一性稳定性得证。
四.求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分).
解:
设是上半平面内一点,在该点放置单位点电荷,其对称点格林函数:
方程的解:
五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分)
其中为的边界.
解:
设都是方程的解设代入方程得:
设
(10’)
,,由边值条件得:
。
(20’)
六考察边值问题
试证当充分负时,其解具有唯一性及在能量模意义下的稳定性.(20分)
证明:
在原方程两边同乘以然后在上积分:
由格林公式
由不等式
又故得估计:
(10’)
设都是方程的解设代入方程并由估计式得:
唯一性得证
,稳定性得证。
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