浙江专版高中数学第一章解三角形12应用举例学案新人教A版必修50605332文档格式.docx
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(3)方位角和方向角是一样的( )
解析:
(1)错误,要解三角形,至少知道这个三角形的一条边长.
(2)错误,两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得.
(3)错误.方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,而方向角是以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角).
答案:
(1)×
(2)×
(3)×
2.若点A在点C的北偏东30°
,点B在点C的南偏东60°
,且AC=BC,则点A在点B的( )
A.北偏东15°
B.北偏西15°
C.北偏东10°
D.北偏西10°
选B 如图所示,∠ACB=90°
,又AC=BC,∴∠CBA=45°
,
而β=30°
,∴α=90°
-45°
-30°
=15°
.
∴点A在点B的北偏西15°
.故选B.
3.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为( )
A.α>βB.α=β
C.α+β=90°
D.α+β=180°
选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图,如图.知α=β,故应选B.
4.已知船A在灯塔C北偏东85°
且到C的距离为1km,船B在灯塔C西偏北25°
且到C的距离为km,则A,B两船的距离为________km.
由题意得∠ACB=(90°
-25°
)+85°
=150°
又AC=1,BC=,由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·
BCcos150°
=7,∴AB=.
测量高度问题
[典例] 如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.
[解] 在△BCD中,
∠CBD=π-(α+β).
由正弦定理得=.
∴BC==.
在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=.
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化:
测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题.
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路.
[活学活用]
1.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°
,沿A向北偏东30°
方向前进100m到达B处,在B处测得水柱顶端的仰角为30°
,则水柱的高度是( )
A.50m B.100m
C.120mD.150m
选A 如图,设水柱高度是hm,水柱底端为C,则在△ABC中,A=60°
,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2×
h×
100×
cos60°
,即h2+50h-5000=0,解得h=50或h=-100(舍去),故水柱的高度是50m.
2.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°
,沿倾斜角为30°
的山坡向山顶走1000m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°
,则山高BC为________m.
因为∠SAB=45°
∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°
-(90°
-75°
)=30°
所以∠ASB=180°
-∠SAB-∠SBA=135°
在△ABS中,AB===1000,
所以BC=AB·
sin45°
=1000×
=1000(m).
1000
测量角度问题
[典例] 如图所示,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)nmile的两个观测点.现位于A点北偏东45°
方向、B点北偏西60°
方向的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°
且与B点相距20nmile的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30nmile/h,则该救援船到达D点需要多长时间?
[解] 由题意,知AB=5(3+)nmile,
∠DBA=90°
-60°
=30°
,∠DAB=90°
=45°
∴∠ADB=180°
-(45°
+30°
)=105°
在△DAB中,由正弦定理得=,
即BD==
=
=10nmile.
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°
,BC=20nmile,
∴在△DBC中,由余弦定理,得
CD=
=
=30nmile,
则救援船到达D点需要的时间为=1h.
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题,如确定目标的方位,观察某一建筑物的视角等.
解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解.
[活学活用]
在海岸A处,发现北偏东45°
方向,距离A处(-1)nmile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°
的方向,距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile的速度追截走私船.此时,走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°
方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
解:
设缉私船用th在D处追上走私船,画出示意图,
则有CD=10t,BD=10t,
在△ABC中,∵AB=-1,AC=2,∠BAC=120°
∴由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·
AC·
cos∠BAC=(-1)2+22-2·
(-1)·
2·
cos120°
=6,
∴BC=,且sin∠ABC=·
sin∠BAC=·
=,
∴∠ABC=45°
,BC与正北方向成90°
角.
∵∠CBD=90°
=120°
,在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BCD===,
∴∠BCD=30°
.即缉私船沿北偏东60°
方向能最快追上走私船.
测量距离问题
题点一:
两点间不可通又不可视
1.如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离.
即AB=.
若测得CA=400m,CB=600m,∠ACB=60°
,试计算AB的长.
在△ABC中,由余弦定理得
BCcos∠ACB,
∴AB2=4002+6002-2×
400×
600cos60°
=280000.
∴AB=200(m).
即A,B两点间的距离为200m.
题点二:
两点间可视但有一点不可到达
2.如图所示,A,B两点在一条河的两岸,测量者在A的同侧,且B点不可到达,要测出A,B的距离,其方法在A所在的岸边选定一点C,可以测出A,C的距离m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC中,运用正弦定理就可以求出AB.
若测出AC=60m,∠BAC=75°
,∠BCA=45°
,则A,B两点间的距离为________m.
∠ABC=180°
=60°
所以由正弦定理得,=,
∴AB===20(m).
即A,B两点间的距离为20m.
20
题点三:
两点都不可到达
3.如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,测出A,B的距离,测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,同时在C,D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中,由正弦定理分别计算出AC和BC,再在△ABC中,应用余弦定理计算出AB.
若测得CD=km,∠ADB=∠CDB=30°
,∠ACD=60°
,∠ACB=45°
,求A,B两点间的距离.
∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°
∴∠DAC=60°
∴AC=DC=.
在△BCD中,∠DBC=45°
,由正弦定理,得BC=·
sin∠BDC=·
sin30°
=.
在△ABC中,由余弦定理,得
BCcos45°
=+-2×
×
∴AB=(km).
∴A,B两点间的距离为km.
当A,B两点之间的距离不能直接测量时,求AB的距离分为以下三类:
(1)两点间不可通又不可视(如图①):
可取某点C,使得A,B与C之间的距离可直接测量,测出AC=b,BC=a以及∠ACB=γ,利用余弦定理得:
AB=.
(2)两点间可视但不可到达(如图②):
可选取与B同侧的点C,测出BC=a以及∠ABC和∠ACB,先使用内角和定理求出∠BAC,再利用正弦定理求出AB.
(3)两点都不可到达(如图③):
在河边测量对岸两个建筑物之间的距离,可先在一侧选取两点C,D,测出CD=m,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠ADB,再在△BCD中求出BC,在△ADC中求出AC,最后在△ABC中,由余弦定理求出AB.
层级一 学业水平达标
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4m,∠A=30°
,则其跨度AB的长为( )
A.12m B.8m
C.3mD.4m
选D 由题意知,∠A=∠B=30°
所以∠C=180°
由正弦定理得,=,
即AB===4.
2.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°
距塔68nmile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为( )
A.nmile/hB.34nmile/h
C.nmile/hD.34nmile/h
选A 如图所示,在△PMN中,=,
∴MN==34,∴v==nmile/h.
3.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,α(α<
β),则A点离地面的高度AB等于( )
A.
B.
C.
D.
选A 设AB=x,则在Rt△ABC中,CB=,所以BD=a+,又因为在Rt△ABD中,BD=,所以BD=a+=,从中求得x=
===,故选A.
4.设甲、乙两幢楼相距20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°
,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°
,则甲、乙两幢楼的高分别是( )
A.20m,mB.10m,20m
C.10(-)m,20mD.m,m
选A 由题意,知h甲=20tan60°
=20(m),
h乙=20tan60°
-20tan30°
=(m).
5.甲船在岛B的正南A处,AB=10km,甲船以4km/h的速度向正北航行,同时乙船自岛B出发以6km/h的速度向北偏东60°
的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们的航行时间是( )
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