函数的单调性与最值Word文件下载.docx
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2.最值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M);
②存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的____________.
自我检测
1.(2011·
杭州模拟)若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( )
A.增函数B.减函数
C.先增后减D.先减后增
2.设f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a为实数,则有( )
A.f(a)<
f(2a)B.f(a2)<
f(a)
C.f(a2+a)<
f(a)D.f(a2+1)>
3.下列函数在(0,1)上是增函数的是( )
A.y=1-2xB.y=
C.y=-x2+2xD.y=5
4.(2011·
合肥月考)设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<
x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A.f(x1)<
f(x2)B.f(x1)>
f(x2)
C.f(x1)=f(x2)D.不能确定
5.当x∈[0,5]时,函数f(x)=3x2-4x+c的值域为( )
A.[c,55+c]B.[-+c,c]
C.[-+c,55+c]D.[c,20+c]
探究点一 函数单调性的判定及证明
例1 设函数f(x)=(a>
b>
0),求f(x)的单调区间,并说明f(x)在其单调区间上的单调性.
变式迁移1 已知f(x)是定义在R上的增函数,对x∈R有f(x)>
0,且f(5)=1,设F(x)=f(x)+,讨论F(x)的单调性,并证明你的结论.
探究点二 函数的单调性与最值
例2 (2011·
烟台模拟)已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).
(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>
0恒成立,试求实数a的取值范围.
变式迁移2 已知函数f(x)=x-+在(1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
探究点三 抽象函数的单调性
例3 (2011·
厦门模拟)已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>
0时,f(x)<
0,f
(1)=-.
(1)求证:
f(x)在R上是减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
变式迁移3 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>
1时,f(x)<
0.
(1)求f
(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<
-2.
分类讨论及数形结合思想
例 (12分)求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.
【答题模板】
解 f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a.
(1)当a<
0时,由图①可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f
(2)=3-4a.[3分]
(2)当0≤a<
1时,由图②可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f
(2)=3-4a.[6分]
(3)当1<
a≤2时,由图③可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.[9分]
(4)当a>
2时,由图④可知,f(x)min=f
(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.
综上,
(1)当a<
0时,f(x)min=-1,f(x)max=3-4a;
1时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=3-4a;
a≤2时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=-1;
2时,f(x)min=3-4a,f(x)max=-1.[12分]
【突破思维障碍】
(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的.故只需确定对称轴与区间的关系.由于对称轴是x=a,而a的取值不定,从而导致了分类讨论.
(2)不是应该分a<
0,0≤a≤2,a>
2三种情况讨论吗?
为什么成了四种情况?
这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时,最小值是在顶点处取得,但最大值却有可能是f(0),也有可能是f
(2).
1.函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有:
(1)定义法;
(2)导数法;
(3)图象法;
(4)单调性的运算性质.
2.若函数f(x),g(x)在区间D上具有单调性,则在区间D上具有以下性质:
(1)f(x)与f(x)+C具有相同的单调性.
(2)f(x)与af(x),当a>
0时,具有相同的单调性,当a<
0时,具有相反的单调性.
(3)当f(x)恒不等于零时,f(x)与具有相反的单调性.
(4)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,则f(x)+g(x)是增(减)函数.
(5)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,则f(x)·
g(x)当两者都恒大于零时,是增(减)函数;
当两者都恒小于零时,是减(增)函数.
(满分:
75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
泉州模拟)“a=1”是“函数f(x)=x2-2ax+3在区间[1,+∞)上为增函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2009·
天津)已知函数f(x)=若f(2-a2)>
f(a),则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-1,2)
C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
3.(2009·
宁夏,海南)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为( )
A.4B.5C.6D.7
丹东月考)若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1)D.(0,1]
5.(2011·
葫芦岛模拟)已知定义在R上的增函数f(x),满足f(-x)+f(x)=0,x1,x2,x3∈R,且x1+x2>
0,x2+x3>
0,x3+x1>
0,则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值( )
A.一定大于0B.一定小于0
C.等于0D.正负都有可能
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是________.
7.设f(x)是增函数,则下列结论一定正确的是________(填序号).
①y=[f(x)]2是增函数;
②y=是减函数;
③y=-f(x)是减函数;
④y=|f(x)|是增函数.
8.设0<
x<
1,则函数y=+的最小值是________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)(2011·
湖州模拟)已知函数f(x)=a-.
函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)<
2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
10.(12分)已知f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2]时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
11.(14分)(2011·
鞍山模拟)已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f
(1)=1,若a,b∈
[-1,1],a+b≠0时,有>
0成立.
(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明它;
(2)解不等式:
f(x+)<
f();
(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有的a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
答案自主梳理
1.
(1)增函数(减函数)
(2)增函数 减函数 (3)单调区间 (4)递增 递减 (-∞,0),(0,+∞) 2.最大(小)值
1.B [由已知得a<
0,b<
0.所以二次函数对称轴为直线x=-<
0,且图象开口向下.]
2.D [∵a2+1>
a,f(x)在R上单调递增,
∴f(a2+1)>
f(a).]
3.C [常数函数不具有单调性.]
4.D [在本题中,x1,x2不在同一单调区间内,故无法比较f(x1)与f(x2)的大小.]
5.C [∵f(x)=3(x-)2-+c,x∈[0,5],∴当x=时,f(x)min=-+c;
当x=5时,f(x)max=55+c.]
课堂活动区
例1 解题导引 对于给出具体解析式的函数,判断或证明其在某区间上的单调性问题,可以结合定义(基本步骤为:
取点,作差或作商,变形,判断)来求解.可导函数则可以利用导数求解.有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数,利用其单调性可以方便求解.
解 在定义域内任取x1,x2,且使x1<
x2,
则Δx=x2-x1>
0,
Δy=f(x2)-f(x1)=-
=
=.
∵a>
0,∴b-a<
0,∴(b-a)(x2-x1)<
又∵x∈(-∞,-b)∪(-b,+∞),
∴只有当x1<
x2<
-b,或-b<
x1<
x2时,函数才单调.
当x1<
x2时,f(x2)-f(x1)<
0,即Δy<
∴y=f(x)在(-∞,-b)上是单调减函数,在(-b,+∞)上也是单调减函数.
变式迁移1 解 在R上任取x1、x2,设x1<
x2,∴f(x2)>
f(x1),F(x2)-F(x1)=[f(x2)+]-[f(x1)+]=[f(x2)-f(x1)][1-],
∵f(x)是R上的增函数,且f(5)=1,
∴当x<
5时,0<
f(x)<
1,而当x>
5时f(x)>
1;
①若x1<
5,则0<
f(x1)<
f(x2)<
1,
∴0<
f(x1)f(x2)<
1,∴1-<
∴F(x2)<
F(x1);
②若x2>
x1>
5,则f(x2)>
f(x1)>
∴f(x1)·
f(x2)>
1,∴1->
∴F(x2)>
F(x1).
综上,F(x)在(-∞,5)为减函数,在(5,+∞)为增函数.
例2 解
(1)当a=时,f(x)=x++2,
设x1,x2∈[1,+∞)且x1<
f(x1)-f(x2)=x1+-x2-
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- 函数 调性