第一课时 子集Word文档格式.docx
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(3)对于集合A,B,C,如果A⊆B,B⊆C,那么A⊆C.
(4)对于集合A,B,C,如果AB,BC,那么AC.
3.用维恩图表示非空集合的基本关系
(1)A⊆B表示为:
或
(2)AB表示为:
(3)A=B表示为:
拓展深化
[微判断]
1.1⊆{1,2,3}.(×
)
提示 “⊆”表示集合与集合之间的关系,而不是元素和集合之间的关系.
2.任何集合都有子集和真子集.(×
提示 空集只有子集,没有真子集.
3.若a∈A,则{a}A.(×
提示 也有可能{a}=A.
4.若A⊆B,且B⊆A,则A=B.(√)
[微训练]
1.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B⊆A,则实数m=________.
解析 ∵B⊆A,∴元素3,4必为A中元素,∴m=4.
答案 4
2.若A={1,a,0},B={-1,b,1},且A=B,则a=________,b=________.
解析 由两个集合相等可知b=0,a=-1.
答案 -1 0
3.若{1,2}⊆B⊆{1,2,4},则B=________.
解析 由条件知B中一定含有元素1和2,故B可能是{1,2}或{1,2,4}.
答案 {1,2}或{1,2,4}
[微思考]
1.A⊆B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合?
提示 A⊆B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A=∅,则A中不包含任何元素;
若A=B,则A中含有B中的所有元素,而此时可以说集合A是集合B的子集.
2.符号“∈”与“⊆”的区别是什么?
提示 符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系;
而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系.
3.集合A中有n(n∈N*)个元素,则A的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别是多少?
提示 ①由n个元素组成的集合有2n个子集;
②由n个元素组成的集合有(2n-1)个真子集;
③由n个元素组成的集合有(2n-1)个非空子集;
④由n个元素组成的集合有(2n-2)个非空真子集.
题型一 集合关系的判断
【例1】 指出下列各对集合之间的关系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};
(3)A={x|-1<
x<
4},B={x|x-5<
0};
(4)M={x|x=2n-1,n∈N+},N={x|x=2n+1,n∈N+}.
解
(1)集合A的元素是数,集合B的元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB.
(3)集合B={x|x<
5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知AB.
(4)由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故NM.
规律方法 判断集合关系的方法
(1)观察法:
一一列举观察.
(2)元素特征法:
首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法:
利用数轴或Venn图.
【训练1】
(1)设集合M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关系为( )
A.P⊆N⊆M⊆QB.Q⊆M⊆N⊆P
C.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P
(2)设集合A={0,1},集合B={x|x<
2或x>
3},则A与B的关系为( )
A.A∈BB.B∈A
C.A⊆BD.B⊆A
解析
(1)正方形都是菱形,菱形都是平行四边形,平行四边形都是四边形,故选B.
(2)∵0<
2,∴0∈B.
又∵1<
2,∴1∈B.∴A⊆B.
答案
(1)B
(2)C
题型二 集合的子集、真子集
【例2】
(1)集合{a,b,c}的所有子集为________________,其中它的真子集有________个.
解析 集合{a,b,c}的子集有:
∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},其中,除{a,b,c}外,都是{a,b,c}的真子集,共7个.
答案 ∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 7
(2)写出满足{3,4}P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P.
解 由题意知,集合P中一定含有元素3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此所有满足题意的集合P为:
{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}.
规律方法 1.假设集合A中含有n个元素,则有:
(1)A的子集有2n个;
(2)A的非空子集有(2n-1)个;
(3)A的真子集有(2n-1)个;
(4)A的非空真子集有(2n-2)个.
2.求给定集合的子集的两个注意点:
(1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
【训练2】 已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
解 ∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}.
∴A的子集有:
∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
题型三 子集关系的应用
【例3】 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若BA,求实数m的取值范围.
解
(1)当B≠∅时,如图所示.
∴或
解这两个不等式组得2≤m≤3.
(2)当B=∅时,
由m+1>
2m-1,得m<
2.
综上可得,m的取值范围是{m|m≤3}.
【迁移1】 (变换条件)若本例条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<
5}”,其他条件不变,求m的取值范围.
解
(1)当B=∅时,由m+1>
(2)当B≠∅时,如图所示.
∴解得
即2≤m<
3,
综上可得,m的取值范围是{m|m<
3}.
【迁移2】 (变换条件)若本例条件“BA”改为“A⊆B”,其他条件不变,求m的取值范围.
解 当A⊆B时,如图所示,此时B≠∅.
∴即
∴m∈∅,即m的取值范围为∅.
规律方法
(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时,可化抽象为直观,要注意端点值的取舍,“含”用实心点表示,“不含”用空心点表示.
(2)涉及到“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题,一定要分A=∅和A≠∅两种情况讨论,不要忽视空集的情况.
【训练3】 已知集合A={x|1≤x≤2},集合B={x|1≤x≤a,a≥1}.
(1)若AB,求a的取值范围;
(2)若B⊆A,求a的取值范围.
解
(1)若AB,由图可知a>
(2)若B⊆A,由图可知1≤a≤2.
一、素养落地
1.通过自然语言、图形语言、符号语言表示集合间的基本关系,提升数学抽象素养和直观想象素养.
2.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即由x∈A,能推出x∈B,这是判断A⊆B的常用方法.
(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”,因为若A=∅时,则A中不含任何元素;
若A=B,则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中,A,B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A.
二、素养训练
1.已知集合A={-1,0,1},A的子集中,含有元素0的子集共有( )
A.2个B.4个
C.6个D.8个
解析 根据题意,在集合A的子集中,含有元素0的子集有{0},{0,1},{0,-1},{-1,0,1},故选B.
答案 B
2.已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( )
A.A=BB.A⊆B
C.ABD.BA
解析 ∵A={1,2,3},B={2,3},∴A≠B.又1∈A且1∉B,∴B是A的真子集,故选D.
答案 D
3.设集合A={x|1<
2},B={x|x<
a},若A⊆B,则a的取值范围是________.
解析 画出数轴可得a≥2.
答案 {a|a≥2}
4.我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N,Z,Q,R表示,用符号表示N,Z,Q,R的关系为____________.
答案 NZQR
5.已知集合M={x|x=a2+1,a∈N},集合P={y|y=b2+2b+2,b∈N},试判断M与P的关系,并说明理由.
解 PM.理由如下:
设y∈P,且y=b2+2b+2=(b+1)2+1.∵b∈N,∴b+1∈N+,∴y∈M,故P⊆M.
当a=0时,x=1,∴1∈M.
∵b∈N,∴y=b2+2b+2=(b+1)2+1≥2,∴1∉P.
由P⊆M,1∈M,且1∉P,知PM.
基础达标
一、选择题
1.已知集合N={1,3,5},则集合N的真子集个数为( )
A.5B.6
C.7D.8
解析 集合N的真子集有:
∅,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},共7个.
答案 C
2.已知集合A={x|x2-1=0},则下列式子:
①{1}∈A;
②-1⊆A;
③∅⊆A;
④{1,-1}⊆A.其中表示正确的有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析 因为A={x|x2-1=0}={-1,1},所以{1}⊆A,①不正确;
-1∈A,②不正确;
∅⊆A,符合子集的定义,所以③正确;
{-1,1}⊆A,符合子集的定义,所以④正确.
综上可知,正确的式子有2个.
3.已知集合A={x|-1<
4},B={x|x<
5},则( )
A.A∈BB.AB
C.BAD.B⊆A
解析 由数轴易知A中元素都属于B,B中至少有一个元素如-2∉A,故有AB.
4.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<
5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
解析 由题意知:
A={1,2},B={1,2,3,4},又A⊆C⊆B,则集合C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.
5.已知集合A={x∈Z|(x-1)(x+2)<
0},则集合A的一个真子集为( )
A.{x|
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