初中数学竞赛题汇编(代数部分2)Word格式.doc
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由已知得2(a+b)2=ab,即=-
所以==。
例4:
已知,,求=?
由得,由得,
所以=+=1。
例5:
已知若abc=1,求证。
分析:
所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子,因而变形比较困难。
可以充分利用abc=1,将它们化成同分母。
在的分子、分母上同乘c,化成,将的分母中的“1”换成abc得,然后再相加即可得证。
证明:
∵abc=1∴
=+==1。
例6:
已知bc=ad,求证:
ab(c2-d2)=(a2-b2)cd
因bc=ad,所以由比例的性质得
……①……②……③
①×
②×
③得,
所以ab(c2-d2)=(a2-b2)cd
∴ab(c2-d2)=(a2-b2)cd 。
例7:
已知x=by+cz,y=cz+ax,z=ax+by,且x+y+z≠0,.
解方程组
(2)+(3)-
(1)得y+z-x=2ax,所以
所以
同理可得,,
所以
例8:
已知x、y、z满足关系式,
将已知等式分别乘以x、y、z得
①
②
③
①+②+③得
所以
即:
例9:
试用关于(x-1)的各次幂表示多项式。
设。
因为上式是恒等式,所以不论取什么数,两边都应相等,据此可设
,代入上式得……①
,代入上式得……②
,代入上式得……③
联立上面三个式子解得
∴。
这道例题在求待定系数时运用了特殊值法。
要尽量减少待定系数的个数,比如可以断定的系数是2,就没有必要再将项的系数设为待定系数了。
例10:
化简。
设2013为,则2014=,2012=,
则
=-1。
例11:
解方程组
……①
……②
(1)原方程组可化为
令
(1)代入方程组,得
解得和代入⑴式中,得和
分别解之,得和
显然,这些例题运用了换元法就变的简捷了。
(2)分析:
可由 x3+y3,x+y求出xy,再由基本对称式,求两个变量x和y。
∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)……③
把①和②代入③,得
35=53-15xy.
∴xy=6.
解方程组
得 或.
例12:
求方程x+y=xy的整数解。
∵
x+y=xy
∴
(x-1)(y-1)=1。
解之,得
x-1=1,y-1=1;
或
x-1=-1,y-1=-1。
∴x=2
y=2或
x=0
y=0
例13:
已知:
a+b+c=0, abc≠0.
求代数式 的值。
分析:
这是含a,b,c的轮换式,化简第一个分式后,其余的两个分式,可直接写出它的同型式。
∵==,
∴=---
=-=0.
例14:
己知a+,a≠b≠c 求证:
a2b2c2=1:
由己知a-b=∴bc=
b-c=∴ca=同理ab=
∴ab bc ca==1 即a2b2c2=1
例15:
己知:
ax2+bx+c是一个完全平方式(a,b,c是常数)求证:
b2-4ac=0
设:
ax2+bx+c=(mx+n)2,m,n是常数
那么:
ax2+bx+c=m2x2+2mnx+n2
根据恒等式的性质 得
∴b2-4ac=(2mn)2-4m2n2=0。
例16:
已知x=(+1),y=求下列代数式的值:
①x3+x2y+xy2+y3;
②x2(2y+3)+y2(2x+3).:
∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.
∴先求出 x+y=, xy=.
①x3+x2y+xy2+y3
=(x+y)3-2xy(x+y)=()3-2×
=2;
②x2(2y+3)+y2(2x+3)=2x2y+3x2+2xy2+3y2
=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3[(x+y)2-2xy]+2xy(x+y)
=3[()2×
=-6.
例17:
化简 +.
:
设=x, =y.
那么 x3+y3=40, xy==2.
∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),
∴ 40=(x+y)3-6(x+y).
设x+y=u,
得 u3-6u-40=0.(u-4)(u2+4u+10)=0.
∵u2+4u+10=0没有实数根,
∴u-4=0, u=4.
∴x+y=4.
即 +=4.
例18:
a取什么值时,方程x2-ax+a-2=0 的两根差的绝对值最小?
其最小值是什么?
设方程两根为x1, x2. 根据韦达定理,
得
∵==
=,
∴当a=2时, 有最小值是2.
例19:
若a+b+c=0,求的值
∵a+b+c=0,∴a=-b-c,
∴2a2+bc=a2+bc+a(-b-c)
∴
例20:
设,
a、b、c三数中必有两个数之和为零。
由得
从已知知a、b、c≠0,所以abc≠0,且a+b+c≠0,
则(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0
∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a(bc+ca+ab)+(b+c)(bc+ca+ab)–abc
=(b+c)(bc+ca+ab)+abc+a2c+a2b–abc
=(b+c)(bc+ca+ab)+a2(b+c)=(b+c)(a2+bc+ca+ab)
=(a+b)(b+c)(c+a)
∴(a+b)(b+c)(c+a)=0,这就是说,在a+b、b+c、c+a中至少有一个为零,即a、b、c三数中必有两个数之和为零。
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