高考数学押题卷及答案十三Word文件下载.docx
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14.当为正整数时,函数表示的最大奇因数,如,设,则.
答案
1.四2.63.4.5.{2,3,4}6.50497.8.29.
10.11.12.13.414.
二、解答题:
本大题共六小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分14分)
在锐角中,角,,所对的边分别为,,.已知.
(1)求;
(2)当,且时,求.
解:
(1)由已知可得.所以.………………2分
因为在中,,所以.………………………………4分
(2)因为,所以.………………………………6分
因为是锐角三角形,所以,.………………8分
所以.11分
由正弦定理可得:
,所以.…………………………………………14分
说明:
用余弦定理也同样给分.
16.(本题满分14分)
如图,是边长为的正方形,平面,,.
(1)求证:
平面;
(2)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,
使得平面,并证明你的结论.
(1)证明:
因为平面,
所以.……………………2分
因为是正方形,
所以,因为………………4分
从而平面.……………………6分
(2)当M是BD的一个三等分点,即3BM=BD时,AM∥平面BEF.…………7分
取BE上的三等分点N,使3BN=BE,连结MN,NF,则DE∥MN,且DE=3MN,
因为AF∥DE,且DE=3AF,所以AF∥MN,且AF=MN,
故四边形AMNF是平行四边形.……………………………………10分
所以AM∥FN,
因为AM平面BEF,FN平面BEF,…………………………………………12分
所以AM∥平面BEF.…………………………………………14分
17.(本题满分14分)
已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为2,一条准线方程为l:
.
⑴求椭圆的标准方程;
⑵设O为坐标原点,F是椭圆的右焦点,点M是直线l上的动点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:
线段ON的长为定值.
⑴∵椭圆C的短轴长为2,椭圆C的一条准线为l:
,
∴不妨设椭圆C的方程为.(2分)∴,(4分)即.(5分)
∴椭圆C的方程为.(6分)
⑵F(1,0),右准线为l:
,设,
则直线FN的斜率为,直线ON的斜率为,(8分)
∵FN⊥OM,∴直线OM的斜率为,(9分)
∴直线OM的方程为:
,点M的坐标为.(11分)
∴直线MN的斜率为.(12分)
∵MN⊥ON,∴,∴,
∴,即.(13分)∴为定值.(14分)
若学生用平面几何知识(圆幂定理或相似形均可)也得分,设垂足为P,准线l与x轴交于Q,则有,又,所以为定值.
18.(本题满分16分)
如图,直角三角形ABC中,∠B=,AB=1,BC=.点M,N分别在边AB和AC
上(M点和B点不重合),将△AMN沿MN翻折,△AMN变为△MN,使顶点落在边BC
上(点和B点不重合).设∠AMN=.
(1)用表示线段的长度,并写出的取值范围;
(2)求线段长度的最小值.
(1)设,则.(2分)
在Rt△MB中,,(4分)
∴.(5分)
∵点M在线段AB上,M点和B点不重合,点和B点不重合,∴.(7分)
(2)在△AMN中,∠ANM=,(8分)
(9分)
=.(10分)
令=
=.(13分)
∵,∴.(14分)
当且仅当,时,有最大值,(15分)
∴时,有最小值.(16分)
19.(本题满分16分)
已知,函数.
(1)如果实数满足,函数是否具有奇偶性?
如果有,求出相应的
值;
如果没有,说明为什么?
(2)如果判断函数的单调性;
(3)如果,,且,求函数的对称轴或对称中心.
(1)如果为偶函数,则恒成立,(1分)
即:
(2分)
由不恒成立,得(3分)
如果为奇函数,则恒成立,(4分)
(5分)
由恒成立,得(6分)
(2),∴当时,显然在R上为增函数;
(8分)
当时,,
由得得得.(9分)
∴当时,,为减函数;
(10分)
当时,,为增函数.(11分)
(3)当时,
如果,(13分)
则∴函数有对称中心(14分)
如果(15分)
则∴函数有对称轴.(16分)
20.(本题满分16分)
已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=c,2Sn=anan+1+r.
(1)若r=-6,数列{an}能否成为等差数列?
若能,求满足的条件;
若不能,请说明理由.
(2)设,,
若r>c>4,求证:
对于一切n∈N*,不等式恒成立.
(1)n=1时,2a1=a1a2+r,∵a1=c≠0,∴2c=ca2+r,.(1分)
n≥2时,2Sn=anan+1+r,①2Sn-1=an-1an+r,②
①-②,得2an=an(an+1-an-1).∵an≠0,∴an+1-an-1=2.(3分)
则a1,a3,a5,…,a2n-1,…成公差为2的等差数列,a2n-1=a1+2(n-1).
a2,a4,a6,…,a2n,…成公差为2的等差数列,a2n=a2+2(n-1).
要使{an}为等差数列,当且仅当a2-a1=1.即.r=c-c2.(4分)
∵r=-6,∴c2-c-6=0,c=-2或3.
∵当c=-2,,不合题意,舍去.
∴当且仅当时,数列为等差数列(5分)
(2)=[a1+2(n-1)]-[a2+2(n-1)]=a1-a2=-2.
=[a2+2(n-1)]-(a1+2n)=a2-a1-2=-().(8分)
∴(9分)
.(10分)
=.(11分)
∵r>c>4,∴>4,∴>2.∴0<<1.(13分)
且>-1.(14分)
又∵r>c>4,∴,则0<..
∴<1..∴<1.(15分)
∴对于一切n∈N*,不等式恒成立.(16分)
附加题部分
21.(选做题)本大题包括A,B,C,D共4小题,请从这4题中选做2小题.每小题10分,共20分.请在答题卡上准确填涂题目标记.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:
几何证明选讲
如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE=AC,求证:
∠PDE=∠POC.
证明:
因AE=AC,AB为直径,
故∠OAC=∠OAE.……………………………………………………………3分
所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC.
又∠EAC=∠PDE,
所以,∠PDE=∠POC.…………………………………………………………10分
B.选修4—2 矩阵与变换
已知矩阵,其中,若点在矩阵的变换下得到点,
(1)求实数a的值;
(2)求矩阵的特征值及其对应的特征向量.
(1)由=,(2分)∴.(3分)
(2)由
(1)知,则矩阵的特征多项式为
(5分)
令,得矩阵的特征值为与4.(6分)
当时,
∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为;
(8分)
当时,
∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为.(10分)
C.选修4—4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系xOy中,动圆(R)的
圆心为,求的取值范围.
【解】由题设得(为参数,R).…………………………5分
于是,
所以.………………………10分
D.选修4-5:
不等式选讲
已知x,y,z均为正数.求证:
因为x,y,z都是为正数,所以.…………………3分
同理可得.
将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得.………10分
22.必做题,本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知抛物线的焦点为,直线过点.
(1)若点到直线的距离为,求直线的斜率;
(4分)
(2)设为抛物线上两点,且不与轴垂直,若线段的垂直平分线恰过点,求证:
线段中点的横坐标为定值.(6分)
(1)由已知,不合题意.设直线的方程为,
由已知,抛物线的焦点坐标为,…………………1分
因为点到直线的距离为,所以,…………………2分
解得,所以直线的斜率为.…………………4分
(2)设线段中点的坐标为,,
因为不垂直于轴,则直线的斜率为,直线的斜率为,
直线的方程为,…………………5分
联立方程
消去得,…………………7分
所以,…………………8分
因为为中点,所以,即,…………………9分
所以.即线段中点的横坐标为定值.…………………10分
23.必做题,本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知,
(1)若,求的值;
(3分)
(2)若,求中含项的系数;
(3)证明:
.(4分)
(1)因为,所以,又,
所以
(1)
(2)
(1)-
(2)得:
所以:
…………………3分
(2)因为,所以
中含项的系数为…………………6分
(Ⅲ)设
(1)
则函数中含项的系数为…………………7分
(1)-
(2)得
中含项的系数,即是等式左边含项的系数,等式右边含项的系数为
所以…………………10分
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