实际问题与反比例函数提高知识讲解Word格式文档下载.doc
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2.当工程总量一定时,做工时间是做工速度的反比例函数;
3.在使用杠杆时,如果阻力和阻力臂不变,则动力是动力臂的反比例函数;
4.电压一定,输出功率是电路中电阻的反比例函数.
【典型例题】
类型一、反比例函数实际问题与图象
1、一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图所示.设小矩形的长、宽分别为,剪去部分的面积为,若,则与的函数图象是()
【答案】A;
【解析】根据题意求出函数的解析式,应该是反比例函数的一部分.
【总结升华】对于函数图象的判断题,应首先求出函数解析式,分清函数的类型,然后再选择对应的图象,同时在实际问题中应注意自变量的取值范围.
举一反三:
【变式】在一个可以改变容积的密闭容器内,装有一定质量的某种气体,当改变容积V时,气体的密度也随之改变.与V在一定范围内满足,它的图象如图所示,则该气体的质量为( ).
A.1.4 B.5 C.6.4 D.7
【答案】D;
提示:
由题意知,当V=5时,∴,故.
类型二、利用反比例函数解决实际问题
2、病人按规定的剂量服用某种药物.测得服药后2小时,每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克:
已知服药后,2小时前每毫升血液中的含药量(毫克)与时间(小时)成正比例;
2小时后与成反比例(如图所示),根据以上信息解答下列问题:
(1)求当0≤≤2时,与的函数关系式;
(2)求当>2时,与的函数关系式;
(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效,则服药一次,治疗疾病的有效时间是多长?
【思路点拨】
(1)用待定系数法求出与的函数关系式.
(2)结合图象分别求出=2时的值,这两个值之间的时间即所求时间.
【答案与解析】
解:
(1)当0≤≤2时,设函数解析式为.
由题意得4=2.
解得=2,所以当0≤≤2时,函数解析式为.
(2)当>2时,设函数解析式为,
由题意得.解得.
所以当>2时,函数解析式为.
(3)把=2代入中,得=1.把=2代入,得=4.
所以4-1=3.
答:
服药一次,治疗疾病的有效时间是3小时.
【总结升华】本题主要考查图象的识别能力和待定系数法求函数解形式,是近年中考的热点之一.
【变式】为了预防“非典”,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(分钟)成正比例,药物燃烧完后,与成反比例(如图所示),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题:
①药物燃烧时关于的函数关系式为_____________,自变量的取值范围是_______________;
药物燃烧后关于的函数关系式为_________________.
②研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,学生才能回到教室;
③研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?
为什么?
【答案】①药物燃烧时,是的正比例函数,药物燃烧后,与成反比例,
利用待定系数法即可求出函数的解析式:
,0≤≤8,,;
②当空气中每立方米的含药量等于1.6毫克时,求出所对应的时间:
把=1.6代人到中,得=30,则至少经过30分钟后,学生才能回到教室;
③把=3分别代人到和中,得=4和=16,
16-4=12,12>10,所以此次消毒有效.
3、(2012•南宁)南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩~120亩的土地种植一批葡萄,原计划总产量要达到36万斤.
(1)列出原计划种植亩数(亩)与平均每亩产量(万斤)之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)为了满足市场需求,现决定改良葡萄品种.改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍,总产量比原计划增加了9万斤,种植亩数减少了20亩,原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤?
(1)直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可;
(2)根据题意列出-=20后求解即可.
(1)由题意知:
=36,故(≤≤)
(2)根据题意得:
-=20
解得:
=0.3
经检验,x=0.3是原方程的解.
1.5=0.45(万斤)
改良前亩产0.3万斤,改良后亩产0.45万斤.
【总结升华】本题考查了反比例函数的应用,解题的关键是从复杂的实际问题中整理出反比例函数模型,并利用其解决实际问题.
4、心理学家研究发现,一般情况下,在一节40分钟的课中,学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化.开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散,经过实验分析可知,学生的注意力指数随时间(分)的变化规律如图所示(其中AB、BC分别为线段,CD为双曲线的一部分).
(1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)开始上课后第5分钟时与第30分钟时比较,何时学生的注意力更集中?
(3)一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了使效果更好,要求学生的注意力指数最低达到36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?
并说明理由.
(1)由图可知,A、B、C的坐标分别为(0,20)、(10,40)、(25,40).设线段AB的关系式为,
所以,解得.
所以线段AB的关系式为=2+20且0≤≤10,
设双曲线CD的关系式为,所以,
所以双曲线CD的关系式为且25≤≤40.
(2)依题意,当=5时,=2×
5+20=30;
当=30时,,
所以第30分钟时的学生的注意力更集中.
(3)当0≤≤10时,≥36,即2+20≥36,此时≥8;
当10≤≤25时,=40≥36;
当25≤≤40时,≥36,
即.∴.
综上所述:
当8≤≤时,≥36.
又∵,∴老师能讲完这道题目.
【总结升华】
(1)根据图中信息.用待定系数法求解;
(2)把=5和=30代入对应的函数关系式,比较值的大小;
(3)找出当≥36时,对应的的范围,求出对应的时间与19分钟比较.
【巩固练习】
一.选择题
1.下列各选项中,两个变量之间是反比例函数关系的有()
(1)小张用10元钱去买铅笔,购买的铅笔数量(支)与铅笔单价(元/支)之间的关系
(2)一个长方体的体积为50,宽为2,它的长()与高()之间的关系
(3)某村有耕地1000亩,该村人均占有耕地面积(亩/人)与该村人口数量(人)之间的关系
(4)一个圆柱体,体积为100,它的高h()与底面半径R()之间的关系
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.现有一水塔,水塔内装有水,如果每小时从排水管中放水,则要经过小时求可以把水放完.该函数的图象应是如图所示中的()
3.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:
体积
100
80
60
40
20
压强
75
150
300
则可以反映与之间的关系的式子是().
A.=3000 B.=6000 C. D.
4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200的矩形学具进行展示.设矩形的宽为,长为,那么这些同学所制作的矩形的长与宽之间的函数关系的图象大致是()
5.下列各问题中两个变量之间的关系,不是反比例函数的是()
A.小明完成百米赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v()之间的关系
B.长方形的面积为24,它的长与宽之间的关系
C.压力为600N时,压强P(Pa)与受力面积S()之间的关系
D.一个容积为25L的容器中,所盛水的质量与所盛水的体积V(L)之间的关系
6.某气球内充满一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P()是气体体积V()的反比例函数,其图象如图所示.当气球内的气压大于120时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应()
A.不小于B.小于C.不小于D.大于
二.填空题
7.甲、乙两地间的公路长为300,一辆汽车从甲地去乙地,汽车在途中的平均速度为v(),到达时所用的时间为t(h),那么t是v的______函数,v关于t的函数关系式为______.
8.农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示),则需要塑料布与半径R()的函数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分)__________________.
9.某种蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流I(A)与可变电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示,当用电器的电流为10A时,用电器的可变电阻为________Ω.
10.如图所示的是一蓄水池每小时的排水量V()与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数图象.
(1)根据图象可知此蓄水池的蓄水量为______;
(2)此函数的解析式为____________;
(3)若要在6h内排完水池中的水,那么每小时的排水量至少应该是______;
(4)如果每小时的排水量是5,那么水池中的水需要______h排完.
11.某电子商城推出分期付款买电脑的活动,一台电脑售价1.2万元,前期付款4千元,后期每个月付一定数目,则每个月的付款(万元)与付款月数之间的函数关系式是____.
12.一定质量的二氧化碳,当体积为5时,密度为1.98,要使体积增加4,则它的密度为______.
三.解答题
13.某课外小组在做气体实验时,获得压强P()与体积V()之间有下列对应数据:
根据表中提供的信息,回答下列问题:
(1)猜想P与V之间的关系,并求出函数关系式;
(2)当气体的体积是12时,压强是多少?
14.你吃过拉面吗?
实际上做拉面的过程中,渗透着数学知识:
一定体积的面团做成拉面,面条的总长度是面条粗细(横截面积))的反比例函数,其图象如图所示.
(1)写出与S的函数关系式;
(2)求当面条粗1.6时面条的总长度.
15.小王骑自行车以15千米/时的平均速度从甲地到乙地用了4小时.
(1)他坐在出租车从原路返回,出租车的平均速度v与时间t有怎样的函数关系?
(2)如果小王必须在40分钟之内赶回,则返程时的速度至少为多少?
1.【答案】C;
【解析】
(1),
(2)(3)为反比例函数关系式.
2.【答案】C;
【解析】由题意知,.
3.
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