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目的:
研究灰色模型离散函数的表达形式。
方法:
用累加计算的方法分析灰色模型的离散函数,再用近似计算的方法将离散函数转变成近似函数。
结果:
离散函数的近似函数就是灰色模型的传统函数。
结论:
在|a|较小的情况下,离散函数与近似函数的拟合精度基本上是一致的。
【关键词】
灰色模型建模方法离散函数医学应用
GrayModelDiscreteFunctionTheoryAnalysisanditsApplicationsinMedicalResearch
LiYan
LaiwuCitypeoplehospitalofShandongprovince,Laiwu271100
Abstract
Objective:
Studytheexpressionformofthediscretefunctionofgraymodel.Method:
Analyzethedispersedfunctionofthegraymodelbyaccumulatingthemethodofcalculating,andthenchangethedispersedfunctionintoapproximatefunctionwiththeapproximatecalculationway.Result:
Theapproximatefunctionofthedispersedfunctionisatraditionalfunctionofthegraymodel.Conclusion:
In
smallercases,dispersedfunctionandfittingprecisionoftheapproximatefunctionarebasicallyidentical.
Keywords
Graymodel;
modelingmethod;
discretefunction;
medicineapplication
灰色模型不需要对原始数据建模,也不需要有足够的样本和典型的概率分布,具有很强的适用性,应用非常广泛。
但传统灰色模型的数学推导[1]却存在理论缺陷,本研究利用数学的方法对灰色模型进行理论分析和探讨,并以全国护理人数为例,探讨灰色模型GM(1,1)在医学研究中的应用。
1
灰色模型的理论分析
1.1
原始数列的累加生成
设有单变量的原始数列,即:
x(0)k=[x(0)1,x(0)2,…,x(0)n]其中:
x(0)k≥0
为了弱化原始数列的随机性,采用累加生成算法(AGO)整理原始数列。
x
(1)k=x(0)1+x(0)2+…+x(0)k
(1)经过一次累加生成得到一阶累加生成数列,即:
x
(1)k=[x
(1)1,x
(1)2,…,x
(1)n]
原始数列与一阶累加生成数列之间的关系如下:
x(0)k=x
(1)k-x
(1)k-1
(2)
1.2
生成数列的简单平均
由式
(2)可以看出,原始数列是一阶累加生成数列的增量数列,即:
x(0)k=[x(0)2,x(0)3,…,x(0)n]
由于增量数列中的各项数据为期间发生值,而一阶累加生成数列中的各项数据是某一时刻的瞬时值,因此需要把一阶累加生成数列中的各项数据利用下列关系转化为期间发生值。
即:
(1)k=0.5[x
(1)k-1+x
(1)k](3)如果将式
(2)代入式(3),可以得到如下形式:
(1)k=x
(1)k-1+0.5x
(1)k(4)
对一阶累加生成数列采用简单平均的办法整理后得到一阶累加生成平均数列,即:
(1)k=[
(1)2,
(1)3,…,
(1)n]
增量数列与平均数列之间假定存在灰色关系,建立如下灰色模型:
x(0)k+a
(1)k=b(5)参数a、b可以用最小二乘法求解。
1.3
灰色模型的时间函数
①灰色模型的离散函数
若将式(4)代入式(5),可以写成如下的形式:
x(0)k=-a1+0.5ax
(1)k-1-ba(6)将式(6)两边都加上x
(1)k-1-ba,就可以写成如下形式,即:
x
(1)k-ba=(1+-a1+0.5a)x
(1)k-1-ba(7)由式(7)可以看出x
(1)k-ba所组成的数列是等比数列,如果以k=1、x
(1)k=x
(1)1为标准数据计算,其通项公式如下:
x
(1)k-ba=x
(1)1-ba1-0.5a1+0.5ak-1(8)式(8)的变形公式就是灰色模型的离散函数。
(1)k=x
(1)k-ba(1+c)k-1+ba(9)式中:
c=-a1+0.5a②灰色模型的近似函数式(9)中1+c可以写成以下形式:
1+c=1-a+a22-a34(1+0.5a)+…(10)指数函数e-a的级数公式:
e-a=1-a+a22!
-a33!
+…(11)式(10)与式(11)右边的前3项相同,当|a|较小时,两者计算结果非常接近,因此式(9)的近似形式就是灰色模型的近似函数,也就是灰色模型的传统函数。
(1)k=x
(1)1-bae-a(k-1)+ba(12)
2
灰色模型的实际应用
2.1
灰色模型的原始资料
资料来源于中华人民共和国卫生部2006年4月29日发布《2005年中国卫生统计年鉴》,1995~2004年历年全国注册护士数的原始数列见表1。
表1
1995~2004年全国注册护士数(略)
2.2
灰色模型的建立方法
①原始数列的累加生成
x
(1)k=[1125661,2288270,3486498,4705334,5950178,7217016,8503954,9750499,11016458,12324891]
②生成数列的简单平均
(1)k=[1706966,2887384,4095916,5327756,6583597,7860485,9127227,10383479,11670675]
③灰色模型的参数计算
a=∑nk=2x(0)k∑nk=2
(1)k-(n-1)∑nk=2x(0)k
(1)k(n-1)∑nk=2[
(1)k]2-[∑nk=2
(1)k]2=-0.011751014
b=∑nk=2x(0)kn-1+a∑nk=2
(1)kn-1=1166484.285
c=-a1+0.5a=0.011820466
④灰色模型的离散函数
(1)k=100392348.71×
1.011820466k-1-99266687.71
2.3
灰色模型的精度检验
①原始数列的数值计算
(0)k=[1125661,1186684.3,1200711.5,1214904.4,1229265.2,1243795.7,1258497.9,1273374.0,1288425.8,1303655.6]
②原始数列的计算残差
(0)k=[0,-24075.3,-2483.5,3931.6,15578.8,23042.3,28440.1,-26829.0,-22466.8,4777.4]
③灰色模型的精度判断
原始数列标准差sx=1n-1∑nk=1[x(0)k-(0)]2
=56801.9494
计算残差标准差se=1n-1∑nk=1[e(0)k-(0)]2
=19525.2134
后验差比值C=sesx=19525.213456801.9494=0.3437<
0.35
|e(0)k-(0)|<
0.6745sx的个数m=10
小误差概率P=P{|e(0)k-(0)|<
62.81}=mn=1010
=1.00>
0.95
经后验差比值C和小误差概率P综合判定时间函数的精度等级为优。
2.4
灰色模型的趋势预测
时间函数的精度等级为优,可以进行护理人数的趋势预测。
将k=11、k=12分别代入灰色模型的离散函数就可以计算出
(1)10、
(1)11、
(1)12,即:
(1)10=100392348.71×
1.01182046610-1-99266687.71
=12324975.38
(1)11=100392348.71×
1.01182046611-1-99266687.71
=13644040.81
(1)12=100392348.71×
1.01182046612-1-99266687.71
=1497869.21
累减还原得到(0)11、(0)12:
(0)11=
(1)11-
(1)10=1319065.43
(0)12=
(1)12-
(1)11=1334657.40
预计全国注册护士数2005年1319065名,2006年1334657名。
3
结论
1、采用数学方法从理论上分析了灰色模型的离散函数形式,又将离散函数转变成了近似函数。
2、灰色模型具有很高的实用价值,可以被广泛应用到医学研究领域中,离散函数的拟合精度要高于近似函数的拟合精度。
3、在|a|较小的情况下,灰色模型的近似函数与离散函数的拟合精度是非常相近的,在实际应用中没有大的区别。
4、在|a|较大的情况下,近似函数的计算残差较大,在实际应用中灰色模型不再适用,而离散函数并不受此条件的限制,扩大了灰色模型的适用范围。
【参考文献】
1王吉信,朱孔来,主编.现代经济预测、决策新方法.北京:
经济出版社,1997,162~186.
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