2.3幂函数知识点归纳与练习(含详细答案)Word格式文档下载.doc
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1.幂函数在第一象限内指数变化规律:
在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;
在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.
2.求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数中的m是否为偶数;
判断幂函数的奇偶性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数.y=xα,当α=(m、n∈N*,m、n互质)时,有:
n
m
y=的奇偶性
定义域
奇数
偶数
非奇非偶函数
[0,+∞)
偶函数
(-∞,+∞)
奇函数
3.幂函数y=的单调性,在(0,+∞)上,>
0时为增函数,<
0时为减函数.
一、选择题
1.下列函数中不是幂函数的是( )
A.y=B.y=x3
C.y=2xD.y=x-1
2.幂函数f(x)的图象过点(4,),那么f(8)的值为( )
A.B.64
C.2D.
3.下列是y=的图象的是( )
4.图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±
2,±
四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n依次为( )
A.-2,-,,2
B.2,,-,-2
C.-,-2,2,
D.2,,-2,-
5.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>
c>
bB.a>
b>
c
C.c>
a>
bD.b>
a
6.函数f(x)=xα,x∈(-1,0)∪(0,1),若不等式f(x)>
|x|成立,则在α∈{-2,-1,0,1,2}的条件下,α可以取值的个数是( )
A.0B.2
C.3D.4
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.给出以下结论:
①当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线;
②幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点;
③若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大;
④幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限.
则正确结论的序号为________.
8.函数y=+x-1的定义域是____________.
9.已知函数y=x-2m-3的图象过原点,则实数m的取值范围是____________________.
三、解答题
10.比较1.、、的大小,并说明理由.
11.如图,幂函数y=x3m-7(m∈N)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,求此函数的解析式.
能力提升
12.已知函数f(x)=(m2+2m)·
,m为何值时,函数f(x)是:
(1)正比例函数;
(2)反比例函数;
(3)二次函数;
(4)幂函数.
13.点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,)在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有:
(1)f(x)>
g(x);
(2)f(x)=g(x);
(3)f(x)<
g(x).
知识梳理
1.函数y=xα 3.
(1)(1,1)
(2)(0,0),(1,1) 递增 下凸
(3)(1,1) 递减 (4)原点 y轴 (5)四
作业设计
1.C [根据幂函数的定义:
形如y=xα的函数称为幂函数,选项C中自变量x的系数是2,不符合幂函数的定义,所以C不是幂函数.]
2.A [设幂函数为y=xα,依题意,=4α,
即22α=2-1,∴α=-.
∴幂函数为y=,∴f(8)====.]
3.B [y==,∴x∈R,y≥0,f(-x)==
=f(x),即y=是偶函数,又∵<
1,∴图象上凸.]
4.B [作直线x=t(t>
1)与各个图象相交,则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的.]
5.A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来,y=在x>
0时是增函数,所以a>
c;
y=()x在x>
0时是减函数,所以c>
b.]
6.B [因为x∈(-1,0)∪(0,1),所以0<
|x|<
1.
要使f(x)=xα>
|x|,xα在(-1,0)∪(0,1)上应大于0,
所以α=-1,1显然是不成立的.
当α=0时,f(x)=1>
|x|;
当α=2时,f(x)=x2=|x|2<
当α=-2时,f(x)=x-2=|x|-2>
1>
|x|.
综上,α的可能取值为0或-2,共2个.]
7.④
解析 当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},故①不正确;
当α<
0时,函数y=xα的图象不过(0,0)点,故②不正确;
幂函数y=x-1的图象关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故③不正确.④正确.
8.(0,+∞)
解析 y=的定义域是[0,+∞),y=x-1的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),再取交集.
9.m<
-
解析 由幂函数的性质知-2m-3>
0,
故m<
-.
10.解 考查函数y=1.1x,∵1.1>
1,
∴它在(0,+∞)上是增函数.
又∵>
,∴>
.
再考查函数y=,∵>
又∵1.4>
1.1,∴>
,
∴>
>
11.解 由题意,得3m-7<
0.
∴m<
∵m∈N,∴m=0,1或2,
∵幂函数的图象关于y轴对称,
∴3m-7为偶数.
∵m=0时,3m-7=-7,
m=1时,3m-7=-4,
m=2时,3m-7=-1.
故当m=1时,y=x-4符合题意.即y=x-4.
12.解
(1)若f(x)为正比例函数,
则⇒m=1.
(2)若f(x)为反比例函数,
则⇒m=-1.
(3)若f(x)为二次函数,则
⇒m=.
(4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,
∴m=-1±
13.解 设f(x)=xα,则由题意,得
2=()α,∴α=2,即f(x)=x2.
设g(x)=xβ,由题意,得=(-2)β,
∴β=-2,即g(x)=x-2.
在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图象可知:
(1)当x>
1或x<
-1时,
f(x)>
(2)当x=±
1时,f(x)=g(x);
(3)当-1<
x<
1且x≠0时,f(x)<
第6页
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