新教材人教B版数学必修第一册学案第3章32第2课时零点的存在性及其近似值的求法含答案Word下载.docx
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( )
(4)函数y=2x-1的零点是.( )
[答案]
(1)×
(2)×
(3)√ (4)×
2.下列图像表示的函数中没有零点的是( )
A B C D
A [B,C,D的图像均与x轴有交点,故函数均有零点,A的图像与x轴没有交点,故函数没有零点.]
知识点二 求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法
1.二分法的定义
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·
f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法称为二分法.
(1)二分法只能求函数的变号零点(函数图像通过零点时穿过x轴,这样的零点为变号零点)的近似值.
(2)二分法的解题原理是函数零点存在定理,它是一种求近似解的具体方法,是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现.
2.用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε,用二分法求函数f(x)在[a,b]上的零点近似值的步骤是:
第一步 检查|b-a|≤2ε是否成立,如果成立,取x1=,计算结束;
如果不成立,转到第二步.
第二步 计算区间(a,b)的中点对应的函数值,若f=0,取x1=,计算结束;
若f≠0,转到第三步.
第三步 若f(a)f<0,将的值赋给b,回到第一步;
否则必有ff(b)<0,将的值赋给a,回到第一步.
3.下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A.f(x)=x3-1 B.f(x)=2x3+x-5
C.f(x)=x2+2x+2D.f(x)=-x2+4x-1
C [因为f(x)=x2+2x+2=(x+)2≥0,不存在小于0的函数值,所以不能用二分法求零点.]
4.用“二分法”可求近似解,对于精确度ε说法正确的是( )
A.ε越大,零点的精确度越高
B.ε越大,零点的精确度越低
C.重复计算次数就是ε
D.重复计算次数与ε无关
B [依“二分法”的具体步骤可知,ε越大,零点的精确度越低.]
5.若函数f(x)在[a,b]上的图像为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)·
f(b)<
0,f(a)·
f>
0,则( )
A.f(x)在上有零点B.f(x)在上有零点
C.f(x)在上无零点D.f(x)在上无零点
B [由f(a)·
0,可知f·
0,根据零点的存在性定理,可知f(x)在上有零点.故选B.]
类型1 判断函数零点个数或所在区间
【例1】
(1)已知函数y=f(x)的图像是连续不断的一条曲线,有如下的对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
y
123.56
21.45
-7.82
11.45
-53.76
-128.88
则下列说法正确的是( )
A.函数y=f(x)在区间[1,6]上有3个零点
B.函数y=f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点
C.函数y=f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点
D.函数y=f(x)在区间[1,2]上无零点
(2)函数f(x)=x3+x-5的零点所在区间为( )
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
(1)B
(2)B [
(1)由表可知,f
(2)·
f(3)<
0,f(3)·
f(4)<
0,f(4)·
f(5)<
0.由函数零点存在定理知,函数y=f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上分别至少存在一个零点,所以函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.虽然f
(1)·
f
(2)>
0,但函数y=f(x)在[1,2]上也有可能存在一个或多个零点.
(2)由函数f(x)=x3+x-5可得f
(1)=1+1-5=-3<
0,f
(2)=8+2-5=5>
0,
故有f
(1)f
(2)<
根据函数零点存在定理可得,函数f(x)的零点所在区间为(1,2),故选B.]
判断函数零点所在区间有哪3个步骤?
[提示]
(1)代入:
将区间端点值代入函数求出相应的函数值.
(2)判断:
把所得的函数值相乘,并进行符号判断.
(3)结论:
若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )
A.若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
B.若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0
C.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
D.若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
C [对于A选项,可能存在,如y=x2;
对于B选项,必存在但不一定唯一,选项D一定存在.]
类型2 对二分法概念的理解
【例2】 下列图像与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( )
B [利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号,在选项B中,不满足零点两侧函数值异号,不能用二分法求零点.由于A、C、D中零点的两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.]
二分法是求一般函数的零点的一种通法,使用二分法的前提条件是函数零点的存在性.对“函数在区间[a,b]上连续”的理解如下:
不管函数在整个定义域内是否连续,只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可.
2.如图是函数f(x)的图像,它与x轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间,不能用二分法求出函数f(x)的零点近似值的是( )
A.(-2.1,-1) B.(1.9,2.3)
C.(4.1,5)D.(5,6.1)
B [只有B中的区间所含零点是不变号零点.]
类型3 用二分法求函数零点的近似值
【例3】 求函数f(x)=x2-5的负零点.(精确度为0.1)
[解] 由于f(-2)=-1<
0,f(-3)=4>
故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,
用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点的值
中点函数近似值
(-3,-2)
-2.5
1.25
(-2.5,-2)
-2.25
0.0625
(-2.25,-2)
-2.125
-0.4844
(-2.25,-2.125)
-2.1875
-0.2148
(-2.25,-2.1875)
-2.21875
-0.0771
由于|-2.25-(-2.1875)|=0.0625<
0.1,
所以函数的一个近似负零点可取-2.25.
利用二分法求函数零点应关注3点
(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间.
(3)根据给定的精确度,及时检验所得区间长度是否达到要求,以决定是停止计算还是继续计算.
3.证明函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一零点,并求出这个零点(精确度为0.1).
[解] 由于f
(1)=-1<
0,f
(2)=4>
0,又函数f(x)在[1,2]内是增函数,所以函数在区间[1,2]内有唯一零点,不妨设为x0,则x0∈[1,2].下面用二分法求解.
(a,b)
(a,b)的中点
f(a)
f(b)
f
(1,2)
1.5
f
(1)<
f(1.5)>
(1,1.5)
f(1.25)>
(1,1.25)
1.125
f(1.125)<
(1.125,1.25)
1.1875
f(1.1875)<
因为|1.1875-1.25|=0.0625<
0.1,所以函数f(x)=2x+3x-6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.
类型4 一元二次方程根的分布问题
【例4】 已知关于x的方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,则实数m的取值范围为( )
A.(-4,-2)B.(-3,-2)
C.(-4,0)D.(-3,1)
[思路点拨] →→
A [设函数f(x)=7x2-(m+13)x-m-2,则由题意可画出函数f(x)的草图如图所示,由图可得
解得-4<m<-2.
故实数m的取值范围为(-4,-2).]
解一元二次方程根的分布问题一般从4个方面考虑
(1)抛物线开口方向.
(2)一元二次方程根的判别式.
(3)对应区间端点函数值的符号.
(4)抛物线的对称轴与区间端点的位置关系.
4.关于x的一元二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有实数解,求实数m的取值范围.
[解] 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2],
①若f(x)=0在区间[0,2]上有一个实数解,
∵f(0)=1>0,∴f
(2)<0或
又f
(2)=22+(m-1)×
2+1,∴m<-.
②若f(x)=0在区间[0,2]上有两个实数解,
则即
∴∴-≤m≤-1.
综上,实数m的取值范围为{m|m≤-1}.
1.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上( )
A.没有零点 B.有一个零点
C.有两个零点D.有无数个零点
B [令-x2+8x-16=0,得x=4,故函数y=-x2+8x-16在[3,5]上有一个零点.故选B.]
2.下列函数中,不能用二分法求零点的是( )
A B
C D
D [由函数图像可得,D中的函数没有零点,故不能用二分法求零点;
A,B,C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反,故能用二分法求函数的零点.]
3.已知函数f(x)=3a
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- 新教材 数学 必修 一册 学案第 32 课时 零点 存在 及其 近似值 求法 答案
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