七年级数学相交线与平行线(教师讲义带答案)Word文件下载.doc
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(1)则(同角的余角或补角相等)。
(2)且则(等角的余角(或补角)相等)。
6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
(二)对顶角
1、两条直线相交成四个角,其中不相邻的两个角是对顶角。
2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。
3、对顶角的性质:
对顶角相等。
4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛,它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。
5、对顶角是从位置上定义的,对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角。
(三)同位角、内错角、同旁内角
1、两条直线被第三条直线所截,形成了8个角。
2、同位角:
两个角都在两条直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫做同位角。
3、内错角:
两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,这样的一对角叫做内错角。
4、同旁内角:
两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫同旁内角。
5、这三种角只与位置有关,与大小无关,通常情况下,它们之间不存在固定的大小关系。
(四)六类角
1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。
2、余角、补角只有数量上的关系,与其位置无关。
3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系,与其数量无关。
4、对顶角既有数量关系,又有位置关系。
(五)尺规作线段和角
1、在几何里,只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。
2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法,通常叫基本作图。
3、尺规作图中直尺的功能是:
(1)在两点间连接一条线段;
(2)将线段向两方延长。
4、尺规作图中圆规的功能是:
(1)以任意一点为圆心,任意长为半径作一个圆;
(2)以任意一点为圆心,任意长为半径画一段弧;
5、熟练掌握以下作图语言:
(1)作射线×
×
;
(2)在射线上截取×
=×
(3)在射线×
上依次截取×
(4)以点×
为圆心,×
为半径画弧,交×
于点×
(5)分别以点×
、点×
为圆心,以×
、×
为半径作弧,两弧相交于点×
(6)过点×
和点×
画直线×
(或画射线×
);
(7)在∠×
的外部(或内部)画∠×
=∠×
6、在作较复杂图形时,涉及基本作图的地方,不必重复作图的详细过程,只用一句话概括叙述就可以了。
(1)画线段×
(2)画∠×
(六)平行线的判定与性质
平行线的判定
平行线的性质
1、同位角相等,两直线平行
2、内错角相等,两直线平行
3、同旁内角互补,两直线平行
4、平行于同一条直线的两直线平行
5、垂直于同一条直线的两直线平行
1、两直线平行,同位角相等
2、两直线平行,内错角相等
3、两直线平行,同旁内角互补
4、经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行
【经典例题】
例1.判断下列语句是否正确,如果是错误的,说明理由。
(1)过直线外一点画直线的垂线,垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离;
(2)从直线外一点到直线的垂线段,叫做这个点到这条直线的距离;
(3)两条直线相交,若有一组对顶角互补,则这两条直线互相垂直;
(4)两条直线的位置关系要么相交,要么平行。
分析:
本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。
(1)、
(2)都是对点到直线的距离的描述,由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离”可判断
(1)、
(2)都是错的;
由对顶角相等且互补易知,这两个角都是90°
,故(3)正确;
同一平面内,两条直线的位置关系是相交或平行,必须强调“在同一平面内”。
解答:
(1)这种说法是错误的。
因为垂线是直线,它的长度不能度量,应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。
(2)这种说法是错误的。
因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身,而是指垂线段的长度。
(3)这种说法是正确的。
(4)这种说法是错误的。
因为只有在同一平面内,两条直线的位置关系才是相交或平行。
如果没有“在同一平面内”这个前提,两条直线还可能是异面直线。
说明:
此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质,弄清易混概念。
例2.如下图
(1)所示,直线DE、BC被直线AB所截,问,各是什么角?
图
(1)
分析:
已知图形不标准,开始学不容易看,可把此图画成如下图
(2)的样子,这样就容易看了。
图
(2)
答案:
是同位角,是内错角,是同旁内角。
例3如下图
(1),
(1)是两条直线_________________与_________________被第三条直线_________________所截构成的___________________角。
(2)是两条直线_______________与_________________被第三条直线____________________所截构成的________________角。
(3)_______________与___________________被第三条直线_________________________所截构成的_______________角。
(4)与6是两条直线_______________与_______________,被第三条直线______________________所截构成的________________角。
从较复杂的图形中分解出有关角的直线,因此可以得到是由直线被第三条直线所截构成的同位角,如下图
(2),类似可知其他情况。
(1)1与2是两条直线被第三条直线所截构成的同位角。
(2)1与3是两条直线被第三条直线所截构成的同位角。
(3)是两条直线被第三条直线所截构成的内错角。
(4)5与6是两条直线被第三条直线所截构成的同旁内角。
例4如图,已知∠AMF=∠BNG=75°
,∠CMA=55°
,求∠MPN的大小
答案:
50°
解析:
因为∠AMF=∠BNG=75°
,又因为∠BNG=∠MNP,所以∠AMF=∠MNP,所以EF∥GH,所以∠MPN=∠CME,又因为∠AMF=75°
,所以∠AMF+∠CMA=130°
,即∠CMF=130°
,所以∠CME=180°
-130°
=50°
,所以∠MPN=50°
例5如图,∠1与∠3为余角,∠2与∠3的余角互补,∠4=115°
,CP平分∠ACM,求∠PCM
57.5°
因为∠1+∠3=90°
,∠2+(90°
-∠3)=180°
,所以∠2+∠1=180°
,所以AB∥DE,所以∠BCN=∠4=115°
,所以∠ACM=115°
,又因为CP平分∠ACM,所以∠PCM=∠ACM=×
115°
=57.5°
,所以∠PCM=57.5°
例6如图,已知:
∠1+∠2=180°
,∠3=78°
,求∠4的大小
102°
因为∠2=∠CDB,又因为∠1+∠2=180°
,所以∠1+∠CDB=180°
,所以得到AB∥CD,所以∠3+∠4=180°
,又因为∠3=78°
,所以∠4=102°
例7如图,已知:
∠BAP与∠APD互补,∠1=∠2,说明:
∠E=∠F
因为∠BAP与∠APD互补,所以AB∥CD,所以∠BAP=∠CPA,又因为∠1=∠2,所以∠BAP-∠1=∠CPA-∠2,即∠EAP=∠FPA,所以EA∥PF,所以∠E=∠F
例8如图,已知AB∥CD,P为HD上任意一点,过P点的直线交HF于O点,试问:
∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系?
用式子表示并证明
∠HOP=∠AGF-∠HPO
过O作CD的平行线MN,因为AB∥CD,且CD∥MN,所以AB∥MN,所以∠AGF=∠MOF=∠HON,因为CD∥MN,∠HPO=∠PON,所以∠HOP=∠HON-∠PON=∠HON-∠HPO,所以∠HOP=∠AGF-∠HPO
例9如图,已知AB∥CD,说明:
∠B+∠BED+∠D=360°
因为已知AB∥CD,所以在∠BED的内部过点E作AB的平行线,将∠B+∠BED+∠D的和转化成对平行线的同旁内角来求。
解:
过点E作EF∥AB,则
∠B+∠BEF=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∵AB∥CD(已知)
EF∥AB(作图)
∴EF∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)
∴∠D+∠DEF=180°
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=360°
∵∠B+∠BED+∠D=∠B+∠BEF+∠D+∠DEF
∴∠B+∠BED+∠D=360°
例10.小张从家(图中A处)出发,向南偏东40°
方向走到学校(图中B处),再从学校出发,向北偏西75°
的方向走到小明家(图中C处),试问∠ABC为多少度?
说明你的理由。
解:
∵AE∥BD(已知)
∴∠BAE=∠DBA(两直线平行,内错角相等)
∵∠BAE=40°
(已知)
∴∠ABD=40°
(等量代换)
∵∠CBD=∠ABC+∠ABD(已知)
∴∠ABC=∠CBD-∠ABD(等式性质)
∵∠ABD=40°
∴∠ABC=75°
-40°
=35°
例11如图,∠ADC=∠ABC,∠1+∠2=180°
,AD为∠FDB的平分线,说明:
BC为∠DBE的平分线。
从图形上看,AE应与CF平行,AD应与BC平行,不妨假设它们都平行,这时欲证BC为∠DBE的平分线,只须证∠3=∠4,而∠3=∠C=∠6,∠4=∠5,由AD为∠FDB的平分线知∠5=∠6,这样问题就转化为证AE∥CF,且AD∥BC了,由已知条件∠1+∠2=180°
不难证明AE∥CF,利用它的平行及∠ADC=∠ABC的条件,不难推证AD∥BC。
证明:
∵∠1+∠2=180°
∠2+∠7=180°
(补角定义)
∴∠1=∠7(同角的补角相等)
∴AE∥CF
(同位角相等,两直线平行)
∴∠ABC+∠C=180°
又∠ADC=∠ABC(已知),CF∥AB(已证)
∴∠ADC+∠C=180°
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)
∴∠6=∠C,∠4=∠5(两直线平行,同位角相等,内错角相等)
又∠3=∠C(两直线平行,内错角相等)
∴∠3=∠6(等量代换)
又AD为∠BDF的平分线
∴∠5=∠6
∴∠3=∠4(等量代换)
∴BC为∠DBE的平分线
例12如图,DE,BE分别为∠BDC,∠DBA的平分线,∠DEB=∠1+∠2
(1)说明:
AB∥CD
(
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