高中数学幂函数备课资料新人教A版必修Word文档下载推荐.docx
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重点难点
教学重点:
指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质.
教学难点:
灵活运用函数性质解决有关问题.
课时安排
1课时
教学过程
应用示例
思路1
例1计算:
(1)[(3)(5)0.5+(0.008)÷
(0.02)×
(0.32)]÷
0.06250.25;
(2).
活动:
学生观察、思考,学生观察式子的特点,特别是指数和真数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,对有困难的学生及时提示,组织学生讨论交流,并对学生作及时的评价.
解:
(1)原式=[()3×
()·
()2×
0.5+(0.2)3×
()÷
(0.2)]÷
(0.5)4×
=[×
+52÷
]÷
0.5=+10=.
(2)=
===.
点评:
在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式,注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用.
变式训练
如果已知log5427=a,54b=3,如何用a、b表示log10881?
解法一:
由54b=3得log543=b.
所以log10881====.
解法二:
由log5427=a,得54a=27,设x=log10881,则108x=81,
所以(542×
27-1)x=3×
27,即(542×
54-a)x=54b×
54a.
所以542x-ax=54a+b,即2x-ax=a+b.
因此,得x=.
解法一是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果;
解法二是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但解法二运算的技巧性较大.
例2已知a>0,a≠1,x=,求(x+)n的值.
学生思考,观察题目的特点,教师引导学生考虑问题的思路,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,a与a具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,必要时给予提示.
x2-1=(a+a)2-1=(a+2·
a0+a)-1=(a-2·
a0+a)=(a-a)2.
这时应看到==|a-a|.
将x=(a+a)代入x2-1,得x2-1=(a+a)2-1=(a-a)2.
所以==|a-a|,
x+=(a+a)+|a-a|=
所以(x+)n=
运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.
例3若函数f(x)的定义域是(,3],求f(log3x)的定义域.
学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法.已知抽象函数f(x)的定义域,求抽象函数f[g(x)]的定义域,要借助于f(x)的定义域来求,由于函数f(x)的定义域是(,3],所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3],从中解出x,即为f(log3x)的定义域.
因为函数f(x)的定义域为(,3],所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3],
即0.5<log3x≤3,即<x≤9.
因此函数f(log3x)定义域为(3,9].
求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围,对复合函数的定义域要严格注意对应法则.
1.求函数y=的定义域.
2.求函数f(x)=的定义域.
答案:
1.{x|x≠0且x≠1}.2.{x|x≤0}.
思路2
例1求函数y=的定义域、值域和单调区间.
学生观察,思考交流,独立解题,教师要求学生展示自己的思维过程.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围;
函数的值域要根据定义域来求;
求函数的单调区间一般用定义法,有时也借助复合函数的单调性.由于自变量处在指数位置上,分母是一个指数式,因此自变量取值无限制;
值域转化为二次函数,单调区间用复合函数的单调性确定.
函数y=的定义域是全体实数,
因为y===[()x]2≥,所以函数的值域为[,+∞).
设u=()x,则它在(-∞,+∞)上单调递减,
而二次函数y=(u)2在u≤时是减函数,在u≥时是增函数,
令()x≤,则x≥1,令()x≥,则x≤1,
所以函数y=在[1,+∞)上是增函数,在(-∞,1]上是减函数.
这里求函数值域的方法是配方法,求单调区间是用复合函数的单调性确定的.
例2已知函数f(x)=x(+).
(1)指出函数的奇偶性,并予以证明;
(2)求证:
对任何x(x∈R且x≠0),都有f(x)>0.
(1)因为f(x)的定义域是不为0的实数,关于原点对称,
又f(-x)=-x(+)=x()=x(-1+)=x(+)=f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)当x>0时,2x>1,所以f(x)>0.
当x<0时,由f(x)为偶函数,有f(x)=f(-x)>0.
所以对一切x∈R,x≠0,恒有f(x)>0.
利用函数的奇偶性常可使解法简化,如本题,当x<0时,证明f(x)>0较繁,若注意到f(x)为偶函数,则只需证明当x>0时,f(x)>0,而这是显然的.
知能训练
课本P82复习参考题A组1、3、4、6、8、10.
拓展提升
问题:
已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,过
A作x轴的垂线,垂足为E,过点B作y轴的垂线,交EA于C,若
C恰好在函数y=log2x的图象上,试求A、B、C三点的坐标.
学生先仔细审题,理解题目的含义,然后思考交流,教师适当时候提示指导.
画出函数的图象,设出点的坐标,由图形间的关系建立方程求解.
先画出函数的图象如图.
图2-1
设A(x1,log8x1)、B(x2,log8x2),
则C(x1,log8x2).因为C在函数y=log2x的图象上,
所以log8x2=log2x1,即log2x2=log2x1.
所以x2=x13.
又=,即=,
所以x1log8x13=x13log8x1.
所以3x1log8x1=x13log8x1.由x1>
1,所以log8x1≠1.
从而有3x1=x13.所以x1=,x2=3.
所以A、B、C三点的坐标分别为A(,log83)、B(3,log83)、C(,log2).
课后作业
课本P82复习参考题A组2、5、7、9.
设计感想
本堂课是对过去学过的一章知识进行复习,目的是构建知识体系,形成知识网络,总结解题的方法规律和思想,以便综合运用这些知识,使学生能够见题想法,见题有法,能够做到一题多解,触类旁通,由于涉及的知识点和方法思想较多,所以设计的题目也较多,要注意解题方法的总结和提炼,希望加快处理速度,提高课堂复习效果,做到以不变应万变,使全体同学在知识和技能上都有较大的提高.
习题详解
(课本第82页复习参考题)
A组
1.
(1)11;
(2);
(3);
(4).
2.
(1)原式===;
(2)原式===.
3.
(1)因为lg2=a,lg3=b,log125===,
所以log125=.
(2)因为log23=a,log37=b,log1456=====.
4.
(1)(-∞,)∪(,+∞);
(2)[0,+∞).
5.(,1)∪(1,+∞);
(2)(-∞,2);
(3)(-∞,1)∪(1,+∞).
6.
(1)因为log67>
log66=1,所以log67>
1.
又因为log76<
log77=1,所以log76<
1.所以log67>
log76.
(2)因为log3π>
log33=1,所以log3π>
1.又因为log20.8<
0,所以log3π>
log20.8.
7.证明:
(1)因为f(x)=3x,所以f(x)·
f(y)=3x×
3y=3x+y.
又因为f(x+y)=3x+y,所以f(x)·
f(y)=f(x+y).
(2)因为f(x)=3x,所以f(x)÷
f(y)=3x÷
3y=3x-y.
又因为f(x-y)=3x-y,所以f(x)÷
f(y)=f(x-y).
8.证明:
因为f(x)=lg,a、b∈(-1,1),
所以f(a)+f(b)=lg=lg,
f()=lg()
=lg
=lg.
所以f(a)+f(b)=f().
9.
(1)设保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式为y=k·
ax(a>
0,且a≠1).
因为点(0,192)、(22,42)在函数图象上,
所以解得
所以y=192×
0.93x,
即所求函数解析式为y=192×
0.93x.
(2)当x=30℃时,y≈22(小时);
当x=16℃时,y≈60(小时),
即温度在30℃和16℃的保鲜时间约为22小时和60小时.
(3)图象如图:
图2-2
10.解析:
设所求幂函数的解析式为f(x)=xα,因为f(x)的图象过点(2,),
所以=2α,即2=2α.所以α=.所以f(x)=x(x>
0).
图略,f(x)为非奇非偶函数;
同时它在(0,+∞)上是减函数.
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