优化方案高考总复习文科数学学案及练习选修4Word文档下载推荐.docx
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(2)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
(3)+≥.
(此不等式通常称为平面三角不等式)
会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:
会用向量递归方法讨论排序不等式.
第1讲 绝对值不等式
1.绝对值三角不等式
定理1:
如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理2:
如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<
a与|x|>
a的解集
不等式
a>
a=0
a<
|x|<
a
{x|-a<
x<
a}
∅
|x|>
{x|x>
a或x<
-a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax+b|≤c(c>
0)和|ax+b|≥c(c>
0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)若|x|>
c的解集为R,则c≤0.( )
(2)不等式|x-1|+|x+2|<
2的解集为∅.( )
(3)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)√
解不等式:
|x-2|+|x+3|>
7.
解:
因为|x-2|+|x+3|
=
所以原不等式可化为
或或
解上述不等式组得所求不等式的解集为{x|x<
-4或x>
3}.
求函数y=|x+3|-|x-1|的最大值.
因为y=|x+3|-|x-1|≤|(x+3)-(x-1)|=4,所以函数y=|x+3|-|x-1|的最大值为4.
含绝对值不等式的解法(师生共研)
(2019·
沈阳质量检测
(一))已知函数f(x)=|x-a|+3x,其中a∈R.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+|2x+1|的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
【解】
(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+3x,
由f(x)≥3x+|2x+1|,得|x-1|-|2x+1|≥0,
当x>
1时,x-1-(2x+1)≥0,得x≤-2,无解;
当-≤x≤1时,1-x-(2x+1)≥0,得-≤x≤0;
当x<
-时,1-x-(-2x-1)≥0,得-2≤x<
-.
所以不等式的解集为{x|-2≤x≤0}.
(2)由|x-a|+3x≤0,可得或
即或
当a>
0时,不等式的解集为{x|x≤-}.
由-=-1,得a=2.
当a=0时,不等式的解集为{x|x≤0},不合题意.
当a<
0时,不等式的解集为.
由=-1,得a=-4.
综上,a=2或a=-4.
含绝对值不等式解法的常用方法
1.(2018·
高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
(1)当a=1时,
f(x)=
可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.
由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
2.已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
(1)f(x)=
y=f(x)的图象如图所示.
(2)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;
当f(x)=-1时,可得x=或x=5.
故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};
f(x)<-1的解集为.
所以|f(x)|>1的解集为.
绝对值不等式性质的应用(师生共研)
设不等式|x-2|<
a(a∈N*)的解集为A,且∈A,∉A.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.
【解】
(1)因为∈A,且∉A,
所以<
a,且≥a,解得<
a≤,
又因为a∈N*,所以a=1.
(2)因为f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3.
当且仅当(x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2时取到等号,
所以f(x)的最小值为3.
两数和与差的绝对值不等式的性质
(1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±
b|≤|a|+|b|中等号成立的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时.
(2)该定理可强化为||a|-|b||≤|a±
b|≤|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式.
(2019·
湖北省五校联考)已知函数f(x)=|2x-1|,x∈R.
(1)解不等式f(x)<
|x|+1;
(2)若对x,y∈R,有|x-y-1|≤,|2y+1|≤,求证:
f(x)<
1.
(1)因为f(x)<
|x|+1,所以|2x-1|<
|x|+1,
即或或
得≤x<
2或0<
或无解.
故不等式f(x)<
|x|+1的解集为{x|0<
2}.
(2)证明:
f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)|≤|2(x-y-1)|+|2y+1|=2|x-y-1|+|2y+1|≤2×
+=<
绝对值不等式的综合应用(师生共研)
(2018·
高考全国卷Ⅰ)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
【解】
(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)>
1的解集为{x|x>
}.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>
x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<
1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>
0,|ax-1|<
1的解集为0<
,所以≥1,故0<
a≤2.
综上,a的取值范围为(0,2].
(1)研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后数形结合解决是常用的思维方法.
(2)对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.形如y=|x-a|+|x-b|的函数只有最小值,形如y=|x-a|-|x-b|的函数既有最大值又有最小值.
福建市第一学期高三期末考试)设函数f(x)=|x-1|,x∈R.
(1)求不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集;
(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x+1)-|x-a|的解集为M,若⊆M,求实数a的取值范围.
(1)因为f(x)≤3-f(x-1),所以|x-1|≤3-|x-2|⇔|x-1|+|x-2|≤3⇔或或
解得0≤x<
1或1≤x≤2或2<
x≤3,
所以0≤x≤3,
故不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集为[0,3].
(2)因为⊆M,
所以当x∈时,f(x)≤f(x+1)-|x-a|恒成立,
而f(x)≤f(x+1)-|x-a|⇔|x-1|-|x|+|x-a|≤0⇔|x-a|≤|x|-|x-1|,
因为x∈,所以|x-a|≤1,即x-1≤a≤x+1,
由题意,知x-1≤a≤x+1对于任意的x∈恒成立,
所以≤a≤2,故实数a的取值范围为.
[基础题组练]
1.已知|2x-3|≤1的解集为[m,n].
(1)求m+n的值;
(2)若|x-a|<
m,求证:
|a|+1.
(1)不等式|2x-3|≤1可化为-1≤2x-3≤1,解得1≤x≤2,所以m=1,n=2,m+n=3.
若|x-a|<
1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<
|a|+1.即|x|<
2.已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.
(1)证明:
-3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.
f(x)=|x-2|-|x-5|
当2<
5时,-3<
2x-7<
3,
所以-3≤f(x)≤3.
(2)由
(1)可知,
当x≤2时,f(x)≥x2-8x+15的解集为空集;
5时,f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x<
5};
当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.
综上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x≤6}.
3.(2019·
湖北荆州一模)已知函数f(x)=|x-a|,不等式f(x)≤3的解集为[-6,0].
(1)求实数a的值;
(2)若f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,
因为a-3≤x≤a+3,又f(x)≤3的解集为[-6,0],
所以a=-3.
(2)因为f(x)+f(x+5)=|x+3|+|x+8|≥|x+3-(x+8)|=5,
又f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,
所以2m≤5,即m≤.
4.(2018·
高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
(2)由
(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立,因此a+b的最小值为5.
[综合题组练]
1.(2019·
湖南岳阳模拟)已知函数f(x)=|2x+2|-|2x-2|,x∈R.
(1)求不等式f(x)≤3的解集;
(2)若方程+a=x有三个实数根,求实数a的取值范围.
(1)原不等式等价于或或解得x≤,
所以不等式f(x)≤3的解集为.
(2)方程+a=x可变形为a=x+|x-1|-|x+1|,
令h(x)=x+|x-1|-|x+1|=
作出函数h(x)的图象如图,
于是由题意可得-1<
2.设函数f(x)=|2x+3|+|x-1|.
(1)解不等式f(x)>
4;
(2)若存在x0∈使不等式a+1>
f(x0)成立,求实数a的取值范围.
(1)由题意得f(x)=
则f(x)>
4⇔或或⇔x<
-2或0<
x≤1或x>
所以不等式f(x)>
4的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).
(2)存在x0∈使不等式a+1>
f(x0)成立⇔a+1>
f(
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