中考数学新定义问题Word下载.doc
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例1、小明在课外学习时遇到这样一个问题:
定义:
如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.
求函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”.
小明是这样思考的:
由函数y=-x2+3x-2可知,a1=-1,b1=3,c1=-2,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2,就能确定这个函数的“旋转函数”.
请参考小明的方法解决下面问题:
(1)写出函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”;
(2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”,求(m+n)2015的值;
(3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分布是A1,B1,C1,试证明经过点A1,B1,C1的二次函数与函数互为“旋转函数.”
练习1:
在直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y’),给出如下定义:
若则称点Q为点P的“可控变点”.例如:
点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(-1,3)的“可控变点”为点(-1,-3).
(1)若点(-1,-2)是一次函数y=x+3的图像上点M的“可控变点”,则点M的坐标为___________
(2)若点P在函数y=-x2+16(-5≤x≤a)的图像上,其“可控变点”Q的纵坐标y’的取值范围是-16≤y’≤16,则实数a的取值范围是_______
运算新定义
例2.定义:
对于实数a,符号[a]表示不大于a的最大整数.例如:
[5.7]=5,[5]=5,[-π]=-4.
(1)如果[a]=-2,那么a的取值范围是-2≤a<-1
.
(2)如果[]=3,求满足条件的所有正整数x.
练习2:
新定义:
[a,b]为一次函数y=ax+b(a≠0,a,b为实数)的“关联数”.
若“关联数”[1,m-2]的一次函数是正比例函数,则关于x的方程+=1的解为____.
规则新定义
例3、图1,已知四边形ABCD,点P为平面内一动点.如果∠PAD=∠PBC,那么我们称点P为四边形ABCD关于A、B的等角点.如图2,以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,点C的横坐标为6.
(1)若A、D两点的坐标分别为A(0,4)、D(6,4),当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时,则点P的坐标为______;
(2)若A、D两点的坐标分别为A(2,4)、D(6,4),当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时,求点P的坐标;
(3)若A、D两点的坐标分别为A(2,4)、D(10,4),点P(x,y)为四边形ABCD关于A、B的等角点,其中x>2,y>0,求y与x之间的关系式.
练习3:
平面内的直线与相较于点O,对于该平面内任意一点M,点M到直线,的距离分别为a、b,
则称有序非负实数对(a,b)是点M的“距离坐标”。
根据上述定义,距离坐标为(2,3)的点的个数是_______。
操作新定义
例4.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”.
(1)请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”;
(2)如图在Rt△ABC中,∠C=90°
,tanA=,求证:
△ABC是“好玩三角形”;
(3)如图2,已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=2β,点P,Q从点A同时出发,
以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动,记点P经过的路程为s.
①当β=45°
时,若△APQ是“好玩三角形”,试求的值;
②当tanβ的取值在什么范围内,点P,Q在运动过程中,有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”.
请直接写出tanβ的取值范围.
练习4:
若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线,
这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.
(1)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°
,∠C=75°
,BD平分∠ABC.
求证:
BD是梯形ABCD的和谐线;
(2)如图2,在12×
16的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个扇形BAC,点A.B.C均在格点上,
请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线
都是和谐线,并画出相应的和谐四边形;
(3)四边形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°
,AC是四边形ABCD的和谐线,求∠BCD的度数
几何新定义
例5、如图,A、B是⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A,B重合),我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角.
(1)已知∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角.
①若AB是⊙O的直径,则∠APB=____;
②若⊙O的半径是1,AB=,求∠APB的度数.
(2)已知O2是⊙O1外一点,以O2为圆心做一个圆与⊙O1相交于A、B两点,∠APB是⊙O1上关于A、B的滑动角,直线PA、PB分别交⊙O2于点M、N(点M与点A、点N与点B均不重合),连接AN,试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.
练习5:
阅读下面的情景对话,然后解答问题:
(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:
“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?
(2)在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是奇异三角形,求a:
b:
c.
(3)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点(不与点A、B重合),D是半圆的中点,
C、D在直径AB的两侧,若在⊙O内存在点E,使得AE=AD,CB=CE.
①求证:
△ACE是奇异三角形.
②当△ACE是直角三角形时,求∠AOC的度数.
课堂练习
1.若圆锥的轴截图为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥,则正圆锥的侧面展开图的圆心角是( )
A.90°
B.120°
C.150°
D.180°
2.对于实数x,我们规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3,若[]=5,则x的取值可以是( )
A.40 B.45 C.51 D.56
3.对平面上任意一点(a,b),定义f,g两种变换:
f(a,b)=(a,-b).如f(1,2)=(1,-2);
g(a,b)=(b,a).如g(1,2)=(2,1).据此得g(f(5,-9))=( )
A.(5,-9) B.(-9,-5) C.(5,9) D.(9,5)
4.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°
,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°
5.如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是4π[来源:
学&
科&
网]
6.我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.
如图1,四边形ABCD即为“准等腰梯形”.其中∠B=∠C.
(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成
一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可);
(2)如图2,在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C.E为边BC上一点,若AB∥DE,AE∥DC,求证:
;
(3)在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中,∠BAD与∠ADC的平分线交于点E.
若EB=EC,请问当点E在四边形ABCD内部时(即图3所示情形),四边形ABCD是不是“准等腰梯形”,
为什么?
若点E不在四边形ABCD内部时,情况又将如何?
写出你的结论.(不必说明理由)
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