高中数学人教A版选修23练习24正态分布含答案Word格式文档下载.docx
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b),随机变量X满足P(a<
X≤b)=φμ,σ(x)dx,则称随机变量X服从正态分布.
正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2),如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).
3.正态曲线的性质
正态曲线φμ,σ(x)=e-,x∈R有以下性质:
(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(3)曲线在x=μ处达到峰值;
(4)曲线与x轴之间的面积为1;
(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①;
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;
σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图②.
4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ-σ<
X≤μ+σ)=0.682_6;
P(μ-2σ<
X≤μ+2σ)=0.954_4;
P(μ-3σ<
X≤μ+3σ)=0.9974.
要点一 正态曲线
例1 如图所示是一个正态曲线.试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的期望和方差.
解 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是,所以μ=20.
=,解得σ=.
于是概率密度函数的解析式是
φμ,σ(x)=·
e-,x∈(-∞,+∞).
总体随机变量的期望是μ=20,
方差是σ2=()2=2.
规律方法 利用图象求正态密度函数的解析式,关键是找对称轴x=μ与最值,这两点确定以后,相应参数μ,σ的值便确定了.
跟踪演练1 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为.求该正态分布的概率密度函数的解析式.
解 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于y轴对称,即μ=0.
由于=,得σ=4,
故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ,σ(x)=e-,x∈(-∞,+∞).
要点二 利用正态分布求概率
例2 设ξ~N(1,22),试求:
(1)P(-1<ξ≤3);
(2)P(3<ξ≤5);
(3)P(ξ≥5).
解 ∵ξ~N(1,22),∴μ=1,σ=2,
(1)P(-1<ξ≤3)=P(1-2<ξ≤1+2)
=P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6826
(2)∵P(3<ξ≤5)=P(-3<ξ≤-1),
∴P(3<ξ≤5)=[P(-3<ξ≤5)-P(-1<ξ≤3)]
=[P(1-4<ξ≤1+4)-P(1-2<ξ≤1+2)]
=[P(μ-2σ<x≤μ+2σ)-P(μ-σ<x≤μ+σ)]
=(0.9544-0.6826)=0.1359.
(3)P(ξ≥5)=P(ξ≤-3)=[1-P(-3<ξ≤5)]
=[1-P(1-4<ξ≤1+4)]
=[1-P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)]
=(1-0.9544)=0.0228.
规律方法 解答此类题目的关键在于充分利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化,在此过程中充分体现数形结合及化归的数学思想.经常用到如下转换公式:
①P(x≥a)=1-P(x<a);
②若b<μ,则P(X<b)=.
跟踪演练2 若η~N(5,1),求P(5<η<7).
解 ∵η~N(5,1),∴正态分布密度函数的两个参数为μ=5,σ=1,因为该正态曲线关于x=5对称,
∴P(5<η<7)=×
P(3<η<7)=×
0.9544=0.4772.
要点三 正态分布的实际应用
例3 设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.
解 μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),
∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)
=2P(X-μ<-σ)+0.6826=1,
∴P(X-μ<-σ)=0.1587,
∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.1587=0.8413.
∴54×
0.8413≈45(人),即及格人数约为45人.
∵P(X≥130)=P(X-110≥20)=P(X-μ≥σ),
∴P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)
=0.6826+2P(X-μ≥σ)=1.
∴P(X-μ≥σ)=0.1587.
0.1587≈9(人),
即130分以上的人数约为9人.
规律方法 解答此类题目的关键在于将所求的问题向(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)这三个区间进行转化,然后利用上述区间的概率求出相应概率,在此过程中用到化归思想和数形结合的思想.
跟踪演练3 工厂制造的某机械零件的尺寸X服从正态分布N(4,),问在一次正常的试验中,取1000个零件时,不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个?
解 ∵X~N(4,),∴μ=4,σ=,
∴不属于区间(3,5)的概率为
P(X≤3)+P(X≥5)=1-P(3<X<5)
=1-P(4-1<X<4+1)
=1-P(μ-3σ<X<μ+3σ)
=1-0.9974=0.0026≈0.003,
∴1000×
0.003=3(个),
即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个.
1.如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线N(0,σ2)的图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( )
A.σ1>
1>
σ2>
σ3>
B.0<
σ1<
σ2<
1<
σ3
C.σ1>
D.0<
σ2=1<
答案 D
2.把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位,得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是( )
A.曲线b仍然是正态曲线
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2
3.正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率为P1,P2,则二者大小关系为( )
A.P1=P2B.P1<P2
C.P1>P2D.不确定
答案 A
解析 根据正态曲线的特点,图象关于x=0对称,可得
在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率P1,P2相等.
4.一批灯泡的使用时间X(单位:
小时)服从正态分布N(10000,4002),求这批灯泡中“使用时间超过10800小时”的概率.
解 依题意μ=104,σ=400.
∴P(104-800<
X≤104+800)=P(μ-2σ<
X≤μ+2σ)=0.9544.
由正态分布性质知P(X≤104-800)=P(X>
104+800)
故2P(X>
10800)+P(104-800<
X≤104+800)=1,
∴P(X>
10800)==0.0228,
故使用时间超过10800小时的概率为0.0228.
1.理解正态分布的概念和正态曲线的性质.
2.正态总体在某个区间内取值的概率求法:
(1)熟记P(μ-σ<
X≤μ+σ),P(μ-2σ<
X≤μ+2σ),P(μ-3σ<
X≤μ+3σ)的值.
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.
①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.
②P(X<
a)=1-P(X≥a),P(X<
μ-a)=P(X≥μ+a),
若b<
μ,则P(X<
μ-b)=.
一、基础达标
1.设某长度变量X~N(4,16),则下列结论正确的是( )
A.E(X)=D(X)=
B.D(X)=
C.E(X)=
D.E(X)=D(X)
答案 C
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ<
0)等于( )
A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84
解析 P(ξ≤4)=0.84,故P(ξ>
4)=0.16.
P(ξ<
0)=P(ξ>
3.设随机变量X服从正态分布,且相应的概率密度函数为φ(x)=
e-,则( )
A.μ=2,σ=3B.μ=3,σ=2
C.μ=2,σ=D.μ=3,σ=
解析 由φ(x)=e-,得μ=2,σ=.
故选C.
4.若随机变量X服从正态分布,其正态曲线上的最高点的坐标是(10,),则该随机变量的方差等于( )
A.10B.100C.D.
解析 由正态分布密度曲线上的最高点为(10,)知=,∴D(X)=σ2=.
5.如果ξ~N(μ,σ2),且P(ξ>
3)=P(ξ<
1)成立,则μ=________.
答案 2
解析 ∵ξ~N(μ,σ2),故正态密度函数关于直线x=μ对称,又P(ξ<
1)=P(ξ>
3),从而μ==2,即μ的值为2.
6.对于标准正态分布N(0,1)的概率密度函数f(x)=·
e-,下列说法正确的有________.
①f(x)为偶函数;
②f(x)的最大值是;
③f(x)在x>
0时是单调递减函数,在x≤0时是单调递增函数;
④f(x)关于x=1对称.
答案 ①②③
7.已知某种零件的尺寸X(单位:
mm)服从正态分布,其正态分布曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,且f(80)=.
(1)求正态分布的概率密度函数的解析式;
(2)估计尺寸在72~88mm(不包括72mm,包括88mm)间的零件大约占总数的百分比.
解
(1)∵正态分布曲线在(0,80)上是增函数,
在(80,+∞)上是减函数.
∴正态分布曲线关于直线x=80对称,且在x=80处达到峰值,∴μ=80.又=,∴σ=8,
故正态分布的概率密度函数的解析式为
φμ,σ(x)=e-.
(2)由μ=80,σ=8,得μ-σ=80-8=72,
μ+σ=80+8=88.
∴零件的尺寸X位于区间(72,88]内的概率为0.6826.
故尺寸在72~88mm(不包括72mm,包括88mm)间的零件大约占总数的68.26%.
二、能力提升
8.已知一次考试共有60名学生参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内?
( )
A.(90,110]B.(95,125]
C.(100,120]D
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- 高中 学人 选修 23 练习 24 正态分布 答案