ch7静电场中的导体和电介质习题及答案Word格式.docx
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用细导线连接两球,有,所以
2.证明:
对于两个无限大的平行平面带电导体板来说,
(1)相向的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相反;
(2)相背的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
证明:
如图所示,设两导体、的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为,,,
(1)取与平面垂直且底面分别在、内部的闭合圆柱面为高斯面,由高斯定理得
故
上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。
(2)在内部任取一点,则其场强为零,并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的,即
又
故
3.半径为的金属球离地面很远,并用导线与地相联,在与球心相距为处有一点电荷+,试求:
金属球上的感应电荷的电量。
解:
如图所示,设金属球表面感应电荷为,金属球接地时电势
由电势叠加原理,球心电势为
4.半径为的导体球,带有电量,球外有内外半径分别为、的同心导体球壳,球壳带有电量。
(1)求导体球和球壳的电势和;
(2)如果将球壳接地,求和;
(3)若导体球接地(设球壳离地面很远),求和。
(1)应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。
半径为、带电量为的均匀带电球面产生的电势分布为
导体球外表面均匀带电;
导体球壳内表面均匀带电,外表面均匀带电,由电势叠加原理知,空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳内表面和外表面电荷在该点产生的电势的代数和。
导体球是等势体,其上任一点电势为
球壳是等势体,其上任一点电势为
(2)球壳接地,表明球壳外表面电荷入地,球壳外表面不带电,导体球外表面、球壳内表面电量不变,所以
(3)导体球接地,设导体球表面的感应电荷为,则球壳内表面均匀带电、外表面均匀带电,所以
解得
5.两个半径分别为和(<)的同心薄金属球壳,现给内球壳带电+,试求:
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小;
(2)先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝缘,此时外球壳的电荷分布及电势;
(3)再使内球壳接地,此时内球壳上的电量以及外球壳上的电势。
(1)内球壳外表面带电;
外球壳内表面带电为,外表面带电为,且均匀分布,外球壳上电势为
(2)外球壳接地时,外表面电荷入地,外表面不带电,内表面电荷仍为。
所以球壳电势由内球与外球壳内表面产生,其电势为
(3)如图所示,设此时内球壳带电量为;
则外壳内表面带电量为,外壳外表面带电量为(电荷守恒),此时内球壳电势为零,且
得
外球壳的电势为
6.设一半径为的各向同性均匀电介质球体均匀带电,其自由电荷体密度为,球体内的介电常数为,球体外充满介电常数为的各向同性均匀电介质。
求球内外任一点的场强大小和电势(设无穷远处为电势零点)。
电场具有球对称分布,以为半径作同心球面为高斯面。
由介质中的高斯定理得
当时,,所以
,
球内()电势为
球外()电势为
7.如图所示,一平行板电容器极板面积为,两极板相距为,其中放有一层厚度为的介质,相对介电常数为,介质两边都是空气。
设极板上面电荷密度分别为+和,求:
(1)极板间各处的电位移和电场强度大小;
(2)两极板间的电势差;
(3)电容。
(1)取闭合圆柱面(圆柱面与极板垂直,两底面圆与极板平行,左底面圆在极板导体中,右底面圆在两极板之间)为高斯面,根据介质中的高斯定理,得
∴
(2)
(3)
8.如图所示,在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为的电介质,设极板面积为,两极板上分别带电荷为和,略去边缘效应。
试求:
(1)在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值;
(1)充满电介质部分场强为,真空部分场强为,有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度分别为和。
取闭合圆柱面(圆柱面与极板垂直,两底面圆与极板平行,上底面圆在极板导体中,下底面圆在两极板之间)为高斯面,由得
①
②
由①、②解得
(2)由电荷守恒定律知,③
由①、②、③解得
9.半径为的导体球,外套有一同心的导体球壳,壳的内、外半径分别为和,当内球带电荷时,求:
(1)整个电场储存的能量;
(2)将导体壳接地时整个电场储存的能量;
(3)此电容器的电容值。
如图所示,内球表面均匀带电,外球壳内表面均匀带电,外表面均匀带电
(1)由高斯定理得
当和时,
当时,
所以,在区域
在区域
总能量为
(2)导体壳接地时,只有时,其它区域,所以
(3)电容器电容为
10.一个圆柱形电容器,内圆柱面半径为,外圆柱面半径为,长为(,两圆筒间充有两层相对介电常量分别为和的各向同性均匀电介质,其分界面半径为,如图所示。
设内、外圆柱面单位长度上带电荷(即电荷线密度)分别为和,求:
(1)电容器的电容;
(2)电容器储存的能量。
(1)电场分布具有轴对称性,取同轴闭合圆柱面为高斯面,圆柱面高为,底面圆半径为。
由介质中的高斯定理得
当时,,
两圆筒间场强大小为
两圆筒间的电势差为
电容器的电容为
(2)电容器储存的能量
11.如图所示,一充电量为的平行板空气电容器,极板面积为,间距为,在保持极板上电量不变的条件下,平行地插入一厚度为,面积,相对电容率为的电介质平板,在插入电介质平板的过程中,外力需作多少功?
插入电介质平板之前,,电容器储存的能量为
插入电介质平板之后,由本章习题7的解法可得到
电容器储存的能量为
由能量守恒定律知,在插入电介质平板的过程中,外力作的功为
12.一球形电容器,内球壳半径为,外球壳半径为,两球壳间充有两层各向同性均匀电介质,其界面半径为,相对介电常数分别为和,如图所示。
设在两球壳间加上电势差,求:
(1)电容器的电容;
(2)电容器储存的能量。
(1)设球内球壳和外球壳分别带电、,电场具有球对称分布,以为半径作同心球面为高斯面。
内球壳和外球壳之间场强大小为
内球壳和外球壳之间电势差为
电容为
(2)电容器储存的能量为
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